[論文レビュー] Flat vector bundles and analytic torsion on orbifolds

Shu Shen, Jianqing Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平坦なオルビフォールドベクトル束とオルビフォールド基本群の表現との間の対応関係を確立し、コンパクトなオルビフォールド上でのレイ＝シンガー計量の異常公式を導出し、再帰的型のコンパクトな局所的に対称な空間上のアセイクリックなユニタリ平坦オルビフォールド束の解析的 torsionが、ルエル動的ゼータ関数のゼロにおける値に一致することを証明する。これは、スペクトル理論と軌道積分を用いて、先行研究の多様体からの結果をオルビフォールドへ拡張したものである。

ABSTRACT

This article is devoted to a study of flat orbifold vector bundles. We construct a bijection between the isomorphic classes of proper flat orbifold vector bundles and the equivalence classes of representations of the orbifold fundamental groups of base orbifolds. We establish a Bismut-Zhang like anomaly formula for the Ray-Singer metric on the determine line of the cohomology of a compact orbifold with coefficients in an orbifold flat vector bundle. We show that the analytic torsion of an acyclic unitary flat orbifold vector bundle is equal to the value at zero of a dynamical zeta function when the underlying orbifold is a compact locally symmetric space of the reductive type, which extends one of the results obtained by the first author for compact locally symmetric manifolds.

研究の動機と目的

• オルビフォールド基本群の表現による平坦なオルビフォールドベクトル束の分類を確立すること。
• コンパクトなオルビフォールドに平坦ベクトル束を備えた場合のレイ＝シンガー計量のバイスマット＝ジャンプ異常公式を一般化すること。
• 再帰的型のコンパクトな局所的に対称なオルビフォールド上にアセイクリックなユニタリ平坦オルビフォールド束がある場合、その解析的 torsionがルエル動的ゼータ関数のゼロにおける値に一致することを証明すること。
• スペクトル理論と軌道積分の技法を用いて、先行研究の解析的 torsionとゼータ関数の結果を、多様体からオルビフォールドの設定へ拡張すること。

提案手法

• 同型類の正則な平坦オルビフォールドベクトル束と、オルビフォールド基本群の表現の同値類との間の自然な全単射を構成すること。
• 解析的 torsionと$L^2$-計量を用いて、コホロジーの決定線束上のレイ＝シンガー計量を定義すること。
• オルビフォールド上の局所的に計算可能なチルン＝スミス形式を用いて、レイ＝シンガー計量の対数的変動に関する異常公式を導出すること。
• バイスマットの半単純軌道積分公式と、ゼータ正則化行列式を用いて、解析的 torsionとルエル動的ゼータ関数を関連付けること。
• カシミール作用素$C^{\frak{g},Z,\tilde{\rho}}$のスペクトルを解析し、順序付き行列式${\rm det}_{\rm gr}(C^{\frak{g},Z,\tilde{\rho}} + \sigma)$を定義すること。
• セレブのゼータ関数$Z_{\eta,\rho}(\sigma)$のメロモルフィック拡張を証明し、恒等式$Z_{\eta,\rho}(\sigma) = {\rm det}_{\rm gr}(C^\cdots) \exp(P_{\eta,\rho}(\sigma))$を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なオルビフォールドベクトル束は、群の表現としてどのように分類できるか？
• RQ2 平坦ベクトル束を備えたコンパクトなオルビフォールド上でのレイ＝シンガー計量の異常公式は何か？
• RQ3 再帰的型のコンパクトな局所的に対称なオルビフォールド上にアセイクリックなユニタリ平坦オルビフォールド束がある場合、その解析的 torsionは動的ゼータ関数のゼロにおける値に一致するか？
• RQ4 スペクトル不変量としての解析的 torsionやゼータ関数は、多様体と比較してオルビフォールド上ではどのように振る舞うか？
• RQ5 バイスマット＝ジャンプの異常公式は、オルビフォールドの設定へ拡張可能か？

主な発見

• 正則な平坦オルビフォールドベクトル束の同型類と、オルビフォールド基本群の表現の同値類との間の自然な全単射が確立された。
• コンパクトなオルビフォールド上でのレイ＝シンガー計量の異常公式が導出され、バイスマット＝ジャンプの結果がオルビフォールドの場合へ一般化された。
• 再帰的型のコンパクトな局所的に対称な空間上のアセイクリックなユニタリ平坦オルビフォールド束の解析的 torsionは、ルエル動的ゼータ関数のゼロにおける値に一致する。
• セレブのゼータ関数$Z_{\eta,\rho}(\sigma)$はメロモルフィックに拡張可能であり、$Z_{\eta,\rho}(\sigma) = {\rm det}_{\rm gr}(C^\cdots + \sigma_\eta + \sigma^2) \exp(P_{\eta,\rho}(\sigma))$を満たし、解析的 torsionとゼータ関数を結びつける。
• ゼータ関数の零点および極の位数は、カシミール作用素のスペクトルと表現データによって明示的に決定される。
• アセイクリックな場合、ゼータ関数は$Z_{\eta,\rho}(0) = C_\rho$を満たし、これは表現と幾何学的構造に依存する定数である。これは、オルビフォールドにおけるフリード予想を確認する。