[論文レビュー] Flattening of CR singular points and analyticity of local hull of holomorphy

Jimmy Xiangji Huang, Wanke Yin|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{C}^{n+1}$ 内の非退化なCR特異点をもつ実解析的CR特異部分多様体が、ホロモルフィックに平坦化可能であるための条件を確立する。局所的ホロモルフィー的包絡が実解析的であることの必要十分条件は、Bishop不変量が特定の非例外的条件を満たすことであると証明する。主な結果は、最後のBishop不変量$\lambda_n \neq 1/2$ であるとき、平坦化写像の形式的べき級数が恒等的に消えることであり、これは包絡の収束性と解析的性を示唆する。

ABSTRACT

A primary goal in this paper is to study the question that asks when a real analytic submanifold $M$ in ${\mathbb{C}}^{n+1}$ bounds a real analytic (up to $M$) Levi-flat hypersurface $\hat{M}$ near $p\in M$ such that $\hat{M}$ is foliated by a family of complex hypersurfaces moving along the normal direction of $M$ at $p$, and gives the invariant local hull of holomorphy of $M$ near $p$. This question is equivalent to the holomorphic flattening problem for $M$ near $p$. We will give an affirmative answer to above question when $p$ is a real complex tangent point with at least one elliptic direction (positively curved direction). We also obtain a formal flattening theorem under the assumption of one non-parabolic direction.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^{n+1}$ 内の実解析的CR特異部分多様体が、複素超曲面からなるLevi平坦な超曲面を境界として持つ条件を特定すること。
• 非退化なCR特異点近傍におけるcodimension-twoの実解析的部分多様体のホロモルフィック平坦化問題を解決すること。
• 局所的ホロモルフィー的包絡が実解析的であるための条件を確立し、Bishop不変量の非例外性と関連付けること。
• 形式的平坦化が$\lambda_n \neq 1/2$ のとき収束することを証明し、包絡の解析的性を保証すること。

提案手法

• 原点近傍におけるCR特異部分多様体を平坦化する双正則変換の形式的べき級数展開を用いる。
• 定義方程式の$z_j, \bar{z}_j, w, \bar{w}$ におけるテイラー展開を単純化するための正規化条件を適用する。
• 写像の像が$\mathbb{C}^n \times \mathbb{R}$ に含まれるという条件を用いて、平坦化写像の係数に関する再帰的方程式系を導出する。
• 同次性と対称性を用いて係数方程式の構造を分析し、特に変数の全次数3および4の項に注目する。
• 複素共役と実性条件を用いて独立係数の数を削減し、未知数$H_{[tshr]}$ に関する線形方程式系を得る。
• 行列式計算および$\xi = e^{i\theta}$ と$\theta \neq 0$ を用いた代数的恒等式を用いて、非例外的条件$\lambda_n \neq 1/2$ の下ですべての係数が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的CR特異部分多様体が、$\mathbb{C}^{n+1}$ 内の非退化なCR特異点近傍でホロモルフィックに平坦化可能となる条件は何か？
• RQ2 このような部分多様体の局所的ホロモルフィー的包絡が実解析的であるのはいつか？
• RQ3 Bishop不変量は、形式的平坦化写像の収束性にどのように影響するか？
• RQ4 Bishop不変量$\lambda_n$ の非例外性が包絡の解析的性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 形式的平坦化プロセスが$\lambda_n \neq 1/2$ のとき収束することが示せるか？

主な発見

• $\lambda_n \neq 1/2$ ならば、平坦化写像のすべての係数$H_{[tshr]}$ が恒等的に消え、写像が収束的であることを示唆し、部分多様体がホロモルフィックに平坦化可能であることを意味する。
• 条件$\lambda_n \neq 1/2$ は、方程式$\lambda\nu^2 - \nu + \lambda = 0$ が単位根を持たないことを保証し、これは共振を避けて収束性を確保する上で不可欠である。
• 実性条件と$\theta \neq 0$ の下で、恒等式$2H_{[2010]} - 2\xi H_{[1020]} = 0$ から$H_{[2010]}$ が消えることが導かれる。
• $\theta \neq 0$ つまり$\lambda_n \neq 1/2$ のとき、$-2\theta^2 H_{[2001]} = 0$ により$H_{[2001]}$ が消える。
• 正規化および実性制約の下で、$s,h \leq 1$ であるすべての高次係数$H_{[tshr]}$ が消えるため、$H \equiv 0$ となる。
• $H \equiv 0$ という結論は、平坦化写像の形式的べき級数が終了することを示し、局所的ホロモルフィー的包絡の収束性と解析的性を証明する。