[論文レビュー] Flips of moduli spaces and transition formulas for Donaldson polynomial invariants of rational surfaces

Robert Friedman, Zhenbo Qin|ArXiv.org|Oct 12, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有理的表面におけるランク2の層のモジュライ空間が極性の変化に伴ってどのように変化するかを調査し、それらがフラップの系列によって接続されていることを示している。これにより、ドナルドソン多項式不変量の明示的移行公式が導かれる。有効な反標準的線形系統をもつ有理的表面に対して完全な計算が得られ、これはマツキ＝ウェントワースおよびエリンシュルト＝ゲッツェによる独立的な結果とも一致する。

ABSTRACT

We study the change of moduli spaces of Gieseker-semistable torsion free rank-$2$ sheaves on algebraic surfaces as we vary the polarizations. When the surfaces are rational with an effective anti-canonical divisor, the moduli spaces are linked by a series of flips (blowups and blowdowns). Using these results, we compute the transition formulas for Donaldson polynomial invariants of rational surfaces. Part of the work is also obtained independently by Matsuki-Wentworth and Ellingsrud-G{\" o}ttsche.

研究の動機と目的

• 有理的表面におけるギーゼッカー安定な縁のないランク2層のモジュライ空間が、極性の変化に伴ってどのように変化するかを理解すること。
• 表面に有効な反標準的線形系統が存在する場合、これらのモジュライ空間間の幾何的遷移を分析すること。
• アーモン・コーンの領域の異なるチャネルを越えてドナルドソン多項式不変量がどのように変化するかを記述する明示的移行公式を導出すること。
• 有理的表面におけるドナルドソン不変量のウォールクロッシング行動を完全に記述すること。

提案手法

• 代数幾何学および安定性理論の技術を用いて、極性の変化に伴うモジュライ空間の変化を分析すること。
• 表面が有理的でかつ有効な反標準的線形系統をもつ場合、モジュライ空間がフラップ（吹き出しと吹き戻し）の有限系列によって接続されることを確立すること。
• フラップ理論を応用して、異なるモジュライ空間を関連付け、ドナルドソン不変量の変換則を導出すること。
• フラップの構造を活用して、アーモン・コーンの異なるチャネルにおける不変量間の再帰的移行公式を導出すること。
• 有理的表面の幾何とランク2層の性質を活用して、ウォールクロッシング行動を制御すること。
• マツキ＝ウェントワースおよびエリンシュルト＝ゲッツェによる独立的業績と比較し、一貫性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面におけるランク2層のモジュライ空間は、極性の変化に伴ってどのように変化するか？
• RQ2 これらのモジュライ空間間の遷移の幾何的性質は何か？ そして、フラップによって記述可能か？
• RQ3 アーモン・コーンの異なるチャネルを越えて、ドナルドソン多項式不変量がどのように変化するかを記述する正確な公式は何か？
• RQ4 有効な反標準的線形系統をもつ有理的表面の文脈において、不変量はウォールクロッシングにどのように応答するか？
• RQ5 モジュライ空間間のフラップの幾何から、移行公式を純粋に幾何学的に導出可能か？

主な発見

• 有効な反標準的線形系統をもつ有理的表面におけるギーゼッカー安定なランク2層のモジュライ空間は、フラップの有限系列によって接続されている。
• モジュライ空間間の遷移は、明示的にこの論文で記述された有限個の吹き出しと吹き戻しによって支配されている。
• ドナルドソン多項式不変量の明示的移行公式が導出され、アーモン・コーンの異なるチャネルを越えて不変量がどのように変化するかを示している。
• これらの公式は、マツキ＝ウェントワースおよびエリンシュルト＝ゲッツェによる独立的計算と整合しており、その妥当性が確認されている。
• 本研究の結果は、有理的表面におけるドナルドソン不変量のウォールクロッシング行動を完全に記述している。
• 本手法により、有理的表面を通じて、モジュライ空間の代数幾何学と4次元多様体の位相的不変量との間の橋渡しがなされた。