[論文レビュー] Floer homology on the universal cover, a proof of Audin's conjecture and other constraints on Lagrangian submanifolds

Mihai Damian|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体内の単調ラグランジュ部分多様体の普遍被覆上に、フローリングホモロジーの新バージョンを導入し、その普遍被覆で奇数次元ホモロジーが消えるラグランジュ部分多様体が、マスロフ数 $N_L = 2$ を持つことを証明する。さらに、位相的制約を確立：$N_L = n+1$ ならば、$L$ は球面または球面をファイバーとする円周へのファイブレーションとホメオモーティックであることが示され、単調な場合にオーディンの予想が解決される。

ABSTRACT

We establish a new version of Floer homology for monotone Lagrangian submanifolds and apply it to prove the following (generalized) version of Audin's conjecture : if $L$ is an aspherical manifold which admits a monotone Lagrangian embedding in ${\bf C^{n}}$, then its Maslov number equals $2$. We also prove other results on the topology of monotone Lagrangian submanifolds $L\subset M$ of maximal Maslov number under the hypothesis that they are displaceable through a Hamiltonian isotopy.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体内の単調ラグランジュ部分多様体の普遍被覆上に、新しいフロイドホモロジー理論を確立すること。
• 普遍被覆で非可縮または奇数次元ホモロジーが消えることで、マスロフ指数が制約され、$N_L = 2$ が強制されることを証明すること。
• マスロフ数が最大の $N_L = n+1$ または $N_L = n$ を持つラグランジュ部分多様体の位相的特徴づけを提供すること。
• 複素空間 $\mathbb{C}^n$ や関連するシンプレクティック多様体における単調ラグランジュ部分多様体に対して、オーディンの予想を解決すること。
• マスロフクラスが消える $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 内の完全ラグランジュ部分多様体が、$\mathbb{S}^{2k+1}$ とホメオモーティックであることを示すこと。

提案手法

• ラグランジュ部分多様体の普遍被覆を用いて、フロイドホモロジーの新バージョンを構成すること。
• 普遍被覆で奇数次元ホモロジーが消えることを利用して、マスロフ指数を制約し、$N_L = 2$ を強制すること。
• ホモトピー群の長完全系列を適用して、$N_L = n+1$ のときのファイブレーションおよびホモトピー型を分析すること。
• 単調ラグランジュ部分多様体が $\mathbb{C}^n$ や $\mathbb{CP}^n$ でハミルトニアン同倫により分離可能であるという事実を活用し、結果を $\mathbb{C}^n$ を超えて拡張すること。
• canonical morphism $p: \pi_2(M,L) \to \pi_2(M,K)$ を用いて、余接 bundle を介してマスロフ数とシンプレクティック面積の包含関係を関連付けること。
• フカヤ、オウ、オオタ、オノが得た $\mathbb{Z}$-ホモロジー球面に関する結果を活用し、位相的結論を強化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍被覆で奇数次元ホモロジーが自明である場合、単調ラグランジュ部分多様体にどのような位相的制約が生じるか？
• RQ2 マスロフ数 $N_L = n+1$ のラグランジュ部分多様体がホモトピー球面であるというオーディンの予想が、単調な設定で証明可能か？
• RQ3 マスロフ数が最大の $N_L = n+1$ を持つ単調ラグランジュ部分多様体の正確な位相的構造は何か？
• RQ4 マスロフクラスが消える $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 内の完全ラグランジュ部分多様体は、標準球面とどのように関係するか？
• RQ5 どのような条件下で、$T^*K$ 内のラグランジュ部分多様体が $K$ の単調性およびマスロフ数を引き継ぐか？

主な発見

• もし $L$ が非可縮的、またはすべての $i$ に対して $H_{2i+1}(\widetilde{L}; \mathbb{Z}/2) = 0$ ならば、$N_L = 2$ である。
• $N_L = n+1$ のとき、$L$ は球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ とホメオモーティックであり、$N_L = n \geq 6$ のとき、$L$ は球面 $\mathbb{S}^{2n-1}$ とホメオモーティックなファイバーをもつ円周へのファイブレーションである。
• $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 内のマスロフクラスが消える任意の完全ラグランジュ部分多様体は、$\mathbb{S}^{2k+1}$ とホメオモーティックである。
• $K = \mathbb{RP}^{2k+1}$ のとき、$T^*K$ 内のマスロフクラスが消える任意の完全ラグランジュ部分多様体 $L$ に対して、$\pi_1(L) \to \pi_1(K)$ は全射であり、$L$ は $\mathbb{S}^{2k+1}$ とホメオモーティックである。
• $N_L = n+1$ を持つラグランジュ部分多様体の普遍被覆はホモトピー球面であり、$N_L = n \geq 6$ のとき、普遍被覆は次元 $2n-1$ のホモトピー球面である。
• 結果は、コンパクト部分集合がハミルトニアン同倫により分離可能なシンプレクティック多様体へ拡張可能であり、これには $\mathbb{C}^n$、$\mathbb{CP}^n$、$T^*K$ が含まれる。