[論文レビュー] Flow of (higher) Berry curvature and bulk-boundary correspondence in parametrized quantum systems

Xueda Wen, Marvin Qi+6 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パrametrizedなギャップを持つ量子系において、高次Berry曲率のバルク-境界対応を確立し、Thouless電荷ポンプを高次元に一般化する。『Berry曲率の流れ』という概念を導入し、トポロジカルな不変量（Chern数やKapustin-Spodyneiko (KS) 不変量）のポンピングが、孤立したWeyl点を有する異常な境界モードを引き起こすことを示し、d次元系における低次元曲率の流れとしての高次Berry曲率の物理的解釈を提供する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the physics of parametrized gapped quantum many-body systems, which can be viewed as a generalization of conventional topological phases of matter. In such systems, rather than considering a single Hamiltonian, one considers a family of Hamiltonians that depend continuously on some parameters. After discussing the notion of phases of parametrized systems, we formulate a bulk-boundary correspondence for an important bulk quantity, the Kapustin-Spodyneiko higher Berry curvature, first in one spatial dimension and then in arbitrary dimension. This clarifies the physical interpretation of the higher Berry curvature, which in one spatial dimension is a flow of (ordinary) Berry curvature. In d dimensions, the higher Berry curvature is a flow of (d-1)-dimensional higher Berry curvature. Based on this, we discuss one-dimensional systems that pump Chern number to/from spatial boundaries, resulting in anomalous boundary modes featuring isolated Weyl points. In higher dimensions, there are pumps of the analogous quantized invariants obtained by integrating the higher Berry curvature. We also discuss the consequences for parametrized systems of Kitaev's proposal that invertible phases are classified by a generalized cohomology theory, and emphasize the role of the suspension isomorphism in generating new examples of parametrized systems from known invertible phases. Finally, we present a pair of general quantum pumping constructions, based on physical pictures introduced by Kitaev, which take as input a d-dimensional parametrized system, and produce new (d+1)-dimensional parametrized systems. These constructions are useful for generating examples, and we conjecture that one of the constructions realizes the suspension isomorphism in a generalized cohomology theory of invertible phases.

研究の動機と目的

• 高次Berry曲率を用いて、パラメータ化されたギャップを持つ量子多体系の高次元へのThouless電荷ポンプの一般化を試みる。
• Kapustin-Spodyneiko (KS) 高次Berry曲率を、d次元系における(d−1)次元曲率の流れとして物理的に解釈することを明確化する。
• 高次Berry曲率の流れとトポロジカルに保護された境界モードの出現を結びつけるバルク-境界対応を確立する。
• サスペンション同型写像が、既知のトポロジカルな相から新しい可逆的パラメータ化系を生成する役割を明らかにする。
• d次元系から(d+1)次元パラメータ化系を生成する普遍的な量子ポンピング機構を構築し、一般化されたコホロロジー理論における可逆的相のサスペンション同型写像を実現する可能性を検討する。

提案手法

• パラメータ空間Xからギャップを持つハミルトニアンの空間への連続写像として、パラメータ化されたギャップを持つ量子多体系を形式化する。
• Berry曲率の『流れ』という概念を導入し、d次元において高次Berry曲率を(d−1)次元曲率の流れとして解釈する。
• 特に1次元および高次元において、パラメータ化系のトポロジカル不変量を定量化するためにKapustin-Spodyneiko (KS) 不変量を適用する。
• 虚時間順序付き相関関数を用いて、局所的演算子（基底状態期待値がゼロであるもの）の高次Berry曲率（F^{(2)}_q, F^{(3)}_{pq}）の局所的表現を導出する。
• 2つの普遍的な量子ポンピング機構を構築する：1つはサスペンションSX上、もう1つはX×S¹上であり、これらはd次元系から(d+1)次元パラメータ化系を生成する。
• クラッチング構成とS³上の逆系を用いて、1次元モデルにおけるバルク-境界対応を明示的に実現・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kapustin-Spodyneiko 高次Berry曲率は、パラメータ化された量子系における曲率の流れとしてどのように物理的に解釈できるか？
• RQ2 1次元パラメータ化系における高次Berry曲率のバルク-境界対応は何か？ そして、それが異常境界モードを生じる仕組みは？
• RQ3 SXおよびX×S¹上での量子ポンピング構成は、どのようにして(d+1)次元パラメータ化系を生成するのか？ また、これらは一般化されたコホロロジー理論におけるサスペンション同型写像を実現するのか？
• RQ4 局所性は高次Berry曲率にどのように関与するのか？ そして、一般系におけるバルク-境界対応を支える根拠は何か？
• RQ5 可逆的相の一般化されたコホロロジー分類は、パラメータ化系の構築およびそのトポロジカル不変量の生成にどのように関係するか？

主な発見

• d次元系における高次Berry曲率は、(d−1)次元曲率の流れとして物理的に解釈され、1次元におけるBerry曲率の流れの概念を一般化する。
• 1次元系では、KS不変量によるChern数のポンピングが、境界モードに孤立したWeyl点を生じさせ、異常なトポロジカル応答を示す。
• S³上での正確に解ける1次元格子模型において、バルク-境界対応が明示的に検証された。ここで、バルクから計算されたKS不変量は境界のトポロジカル不変量と一致した。
• 高次Berry曲率が局所的であることが示され、特に関連する格子サイトの近傍で寄与が支配的になることが、虚時間順序相関関数を用いて実証された。
• 提案された2つの量子ポンピング構成（SX上およびX×S¹上）は、d次元系から(d+1)次元パラメータ化系を生成するが、後者については一般化されたコホロロジー理論におけるサスペンション同型写像の実現が予想されている。
• 高次元系において、(d+1)次元系におけるKS不変量はバルク-境界対応から計算可能であり、低次元におけるChern数に類似した量子化された不変量が得られる。