[論文レビュー] Flows in Temporal networks.

Eleni C. Akrida, Jurek Czyzowicz+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特定の時刻にのみ存在するリンクを持つ時系列ネットワークのための新しいフローモデルを導入し、ノードバッファが有界であっても最大時系列フローを多項式時間で計算できることを示している。多項式サイズの時間拡張ネットワークを用いて、最大時系列フローと最小時系列s-tカットの間に双対性を確立し、フローが厳密に時刻が増加するエッジの列に沿った旅程に分解可能であることを証明することで、確率的または一様なエッジ利用可能性を持つ特殊ケースに対して効率的なアルゴリズムの実現が可能である。

ABSTRACT

We introduce temporal on temporal networks, i.e., networks the links of which exist only at certain moments of time. Temporal networks were defined by Kempe et al. STOC'00 (see also Mertzios et al. ICALP'13). Our flow model is new and differs substantially from the Flows over model, also called dynamic flows in the literature. We show that the problem of finding the maximum amount of flow that can pass from a source vertex s to a sink vertex t up to a given time is solvable in Polynomial time, even when node buffers are bounded. We then examine mainly the case of unbounded node buffers. We provide a (simplified) static Time-Extended network, which is of polynomial size to the input and whose static flow rates are equivalent to the respective temporal flow of the temporal network; via that, we prove that the maximum temporal flow is equal to the minimum temporal s-t cut. We further show that temporal can always be decomposed into flows, each of which is pushed only through a journey, i.e., a directed path whose successive edges have strictly increasing moments of existence. Using the latter, we provide linear expected time algorithms for the maximum s-t temporal flow problem in networks of bounded node degrees with uniform, random, unique availabilities of edges. We then consider mixed temporal networks, which have some edges with specified availabilities and some edges with random availabilities; we show that it is #P-complete to compute the tails and expectations of the maximum temporal flow (which is now a random variable) in a mixed temporal network. Finally, we examine a Ford-Fulkerson inspired algorithm for maximum temporal flow in networks with a single availability for every edge and show that it computes the maximum temporal flow, i.e., there is an extension of the traditional algorithm for our model.

研究の動機と目的

• エッジが特定の時刻にのみ存在する時系列ネットワークのための、従来の動的フローとは異なる新しいフローモデルの開発。
• ノードバッファが有界または無限である時系列ネットワークにおける最大時系列フローの計算複雑性の特定。
• 時間拡張ネットワークの構築を用いて、最大時系列フローと最小時系列s-tカットの間の双対性の確立。
• 特に時刻が厳密に増加するエッジに沿った旅程へのフローの分解という、時系列フローの構造的性質の分析。
• 固定エッジと確率的に利用可能なエッジが混在する混合ネットワークにおける最大時系列フローの期待値および尾分布の計算の複雑性の調査。

提案手法

• 各エッジの利用可能性を時刻に依存するパスとして符号化する多項式サイズの静的時間拡張ネットワークを構築し、時系列フローをモデル化する。
• 時間拡張ネットワークにおける最大静的フローが、元の時系列ネットワークにおける最大時系列フローと等しいことを証明する。
• 旅程分解を用いて、任意の時系列フローが、各後続エッジの利用時刻が直前のエッジより厳密に遅れるパスに沿ったフローの和として表現可能であることを示す。
• ノード次数が有界で、エッジ利用可能性が一様または確率的に割り当てられたネットワークにおいて、最大s-t時系列フローを線形期待時間で計算するアルゴリズムを設計する。
• 固定エッジと確率的利用可能なエッジが混在する混合ネットワークにおける最大時系列フローの分布の計算が#P完全であることを証明する。
• 各エッジが1つの固定利用時刻しか持たない時系列ネットワークに対して、Ford-Fulkersonアルゴリズムを適応し、最大時系列フローを正しく計算できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードバッファが有界であっても、時系列ネットワークにおける最大時系列フローは多項式時間で計算可能か？
• RQ2 最大時系列フローと最小時系列s-tカットの間に双対性が存在するか？ そして、時間拡張ネットワークを用いてその双対性を確立できるか？
• RQ3 すべての時系列フローは、時刻が厳密に増加するエッジ列に沿った旅程に沿ったフローに分解可能か？
• RQ4 固定エッジと確率的利用可能なエッジが混在する混合時系列ネットワークにおいて、最大時系列フローの期待値および尾分布の計算の複雑性はいかほどか？
• RQ5 古典的Ford-Fulkersonアルゴリズムは、各エッジが1つの利用時刻しか持たない時系列ネットワークに拡張可能か？ そして、正しい最大時系列フローを計算できるか？

主な発見

• 最大時系列フロー問題は、多項式サイズの時間拡張ネットワークを構築することにより、ノードバッファが有界であっても多項式時間で解ける。
• 最大時系列フローは最小時系列s-tカットと等しく、時系列ネットワークにおいて強い双対性が確立される。
• 任意の時系列フローは、各後続エッジが直前のエッジより厳密に遅い時刻に利用可能であるパスに沿ったフローの和（旅程）に分解可能である。
• ノード次数が有界で、エッジ利用可能性が一様または確率的であるネットワークでは、最大s-t時系列フローを線形期待時間で計算するアルゴリズムが存在する。
• 固定エッジと確率的利用可能なエッジが混在する混合時系列ネットワークにおける最大時系列フローの期待値および尾分布の計算は#P完全であり、高い計算複雑性を示す。
• 各エッジが1つの固定利用時刻しか持たない場合、Ford-Fulkersonアルゴリズムは正しく最大時系列フローを計算でき、その適用範囲が時系列ネットワークへ拡張される。