[論文レビュー] Foliations and the cohomology of moduli spaces of bounded global $G$-shtukas

Stephan Neupert|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有界なグローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間の特異ファイバーにおけるニュートン層を、代数的およびアディック設定の両方で、ラポルト＝ジンクス空間とイグーザ多様体の積に分解することを確立する。Id(bνi)-切断同型を用いてイグーザ多様体を構成し、均一化準同型を用いることで、グローバルG-シュトゥッカのℓ進コホモロジーと局所的およびイグーザ成分のコホモロジーとの関係を確立し、ラングランズ対応をコホモロジック的比較定理を通じて実現するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

For arbitrary reductive groups $G$ defined over a finite field, we decompose Newton strata in the special fiber of moduli spaces of global $G$-shtukas into a product of Rapoport-Zink spaces and Igusa varieties. This allows us to compare the $\ell$-adic cohomology of these spaces together with the various actions on them.

研究の動機と目的

• 有界グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間の特異ファイバーにおけるニュートン層を、ラポルト＝ジンクス空間とイグーザ多様体の積に分解すること。
• 基本的ケースの積分解に依存せずに、Id(bνi)-切断同型を用いてイグーザ多様体を構成すること。
• 均一化準同型を用いて、グローバルG-シュトゥッカのℓ進コホモロジーと局所的およびイグーザ成分のコホモロジーとの間の比較を確立すること。
• 特に、解析的層の保存に失敗することや、消滅サイクルの振る舞いに起因する、アディック解析的設定におけるコホモロジック的課題に対処すること。

提案手法

• グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間として、普遍的な局所G-シュトゥッカ (L+G, bνiσ*) への Id(bνi)-切断同型をパラメトライズするイグーザ多様体を構成する。
• 中心葉の完全化へのベースチェンジを用いて、非基本的基底アラコーブの複雑さを避けるために、直接的なフロベニウス引き戻しを可能にする。
• 均一化準同型を適用し、グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間のコホモロジーとラポルト＝ジンクス空間およびイグーザ多様体の積との関係を確立する。
• アディック設定におけるコホモロジー比較のため、解析化と消失サイクル層 RΨan を用い、特にコンパクト台付きコホモロジーに注目する。
• 解析化が層構造を保存しないことの分析を行い、グローバークの群におけるコホモロジー複体としての同型性が成り立たないことを示す。具体的には、N(νi)an と N(νi)an,strat は同型なコホモロジー複体をもたらさない。
• 特に、形式的スキームが局所的に有限型でない場合に、ラポルト＝ジンクス空間の比較定理に障害が生じることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間の特異ファイバーにおけるニュートン層は、アディック設定においてラポルト＝ジンクス空間とイグーザ多様体の積に分解可能か？
• RQ2 基本的ケースの積分解に依存せずに、非基本的局所G-シュトゥッカに対してイグーザ多様体をどのように一様に構成できるか？
• RQ3 非準密なアディック空間の文脈において、解析化と消失サイクル層がコホモロジック的構造をどの程度保存するか？
• RQ4 なぜ、形式的スキームが局所的に有限型でないラポルト＝ジンクス空間に対して、標準的な比較定理が失敗するのか？
• RQ5 グローバルG-シュトゥッカのコホモロジーは、ラポルト＝ジンクス成分およびイグーザ成分のコホモロジーの仮想表現として表現可能か？

主な発見

• 有界グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間の特異ファイバーは、ラポルト＝ジンクス空間とイグーザ多様体の積に分解され、イグーザ多様体は中心葉の完全化上の有限エタール被覆として表現される。
• イグーザ多様体は Id(bνi)-切断同型を用いて構成され、非基本的ケースにおける積分解に依存しない一様なモジュライ的記述が得られる。
• グローバルG-シュトゥッカのモジュライ空間のコホモロジーは、均一化準同型を通じてラポルト＝ジンクス空間およびイグーザ成分のコホモロジーと関係づけられ、仮想的G(Aci) × ΓE′-表現の比較が得られる。
• 解析化は層構造を保存しない：グローバーク群におけるコホモロジー複体として、N(νi)an と N(νi)an,strat は同型でない。
• イグーザ多様体上での消失サイクル層 RΨanη は、この設定下で定数層 Z/ℓrZ に同型でない。これは、構成における形式的滑らかさの欠如に起因する。
• ラポルト＝ジンクス空間の比較定理は、この設定下で失敗する。形式的スキームが局所的に有限型でないため、特異化準同型 sp−1Uclε がベルコヴィッチ空間 Uclrigε と一致せず、従来の証明における重要なステップが無効化される。