[論文レビュー] Fooling One-Sided Quantum Protocols

Hartmut Klauck, Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、フェイリングセット法を用いて、片側誤り許容量子通信複雑度および非決定的量子通信複雑度の新たな下界を確立する。任意のブール関数 f に対して、事前エンタングルメントを有する片側誤り許容量子通信複雑度は (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2 以上であり、上三角フェイリングセット（例：等価性、素性なし）の場合には (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 以上である。これは、スーパードンスコーディングのおかげでほぼ最適である。非決定的量子通信複雑度に関しては、NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1 を示し、約 0.613log(fool¹(f)) を達成する例が存在することから、1/2 の係数がほぼタイトである可能性を示唆する。

ABSTRACT

We use the venerable "fooling set" method to prove new lower bounds on the quantum communication complexity of various functions. Let f:X x Y-->{0,1} be a Boolean function, fool^1(f) its maximal fooling set size among 1-inputs, Q_1^*(f) its one-sided error quantum communication complexity with prior entanglement, and NQ(f) its nondeterministic quantum communication complexity (without prior entanglement; this model is trivial with shared randomness or entanglement). Our main results are the following, where logs are to base 2: * If the maximal fooling set is "upper triangular" (which is for instance the case for the equality, disjointness, and greater-than functions), then we have Q_1^*(f)>=(1/2)log fool^1(f) - 1/2, which is essentially optimal by superdense coding. No super-constant lower bound for equality seems to follow from earlier techniques. * For all f we have Q_1^*(f)>=(1/4)log fool^1(f) - 1/2, which is optimal up to a factor of 2. * NQ(f)>=log \fool^1(f)/2 + 1. We do not know if the factor 1/2 is needed in this result, but it cannot be replaced by 1: we give an example where NQ(f)~0.613 log fool^1(f).

研究の動機と目的

• 事前エンタングルメントを伴う片側誤り許容量子通信複雑度に対して、フェイリングセット法を用いて新たな下界を確立すること。
• 古典的長方形ベースの手法が失敗する量子プロトコルに、フェイリングセット技法を拡張すること。
• 非決定的量子通信複雑度とフェイリングセットサイズの関係を分析すること。
• NQ(f) の下界における係数 1/2 が必須であるか、あるいは改善可能であるかを特定すること。
• 等価性や素性なしといった基本的関数に対して、事前エンタングルメント付き量子プロトコルの能力を調査すること。

提案手法

• 古典的フェイリングセット法を、特に事前エンタングルメント付き片側誤りプロトコルに適応した量子通信複雑度に応用する。
• 1-フェイリングセットのサイズが |F| であることは、同じ色の長方形が F に属する2つの異なるペアを含められないことを意味し、これは異なる通信トランスクリプトを強制する。
• スーパードンスコーディングを適用することで、Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 がほぼ最適であることを示す。
• 通信行列の非決定的ランク（nrank(f)）の概念に依存し、NQ(f) = ⌈log(nrank(f))⌉ + 1 である。
• 小さなランクだがフェイリングセットサイズが大きな行列のテンソル積を用いて明示的な例を構築し、下界のタイトネスを示す。
• 不等式 nrank(f)² ≥ rank(M ⊗ Mᵀ) ≥ nrank(g) ≥ nrank(I_N) = N を用いて、nrank(f) を fool¹(f) の関数として下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的長方形ベースの境界が失敗する片側誤り許容量子プロトコル（事前エンタングルメント付き）に対して、フェイリングセット法が効果的に適用可能か。
• RQ2 下界 Q₁*(f) ≥ (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2 はタイトか？ 一般関数に対して係数 1/4 を 1/2 に改善可能か？
• RQ3 上三角フェイリングセット（例：等価性、素性なし）に対して、下界 Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 は最適か？
• RQ4 NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1 の係数 1/2 は必須か、それとも改善可能か？
• RQ5 NQ(f) が (1/2)log(fool¹(f)) + 1 より著しく小さい関数を構築可能か？ これにより係数 1/2 がタイトでないことが示唆されるか？

主な発見

• 任意のブール関数 f に対して、事前エンタングルメント付き片側誤り許容量子通信複雑度は Q₁*(f) ≥ (1/4)log(fool¹(f)) − 1/2 を満たし、これは要因2の範囲で最適である。
• 上三角フェイリングセット（例：等価性、素性なし、より大きい）に対しては、下界が Q₁*(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) − 1/2 に改善され、スーパードンスコーディングのおかげでほぼ最適である。
• 非決定的量子通信複雑度は NQ(f) ≥ (1/2)log(fool¹(f)) + 1 を満たし、これは定数因子の範囲でタイトである。
• 明示的な例として、NQ(f) ≈ 0.613log(fool¹(f)) を達成する関数が構築され、下界における係数 1/2 が 1 に置き換えられないことを示唆する。
• ランク 3、1-フェイリングセットサイズ 6 の 6×6 行列は、fool¹(f) = 6^k かつ nrank(f) = 3^k となる関数 f を生成し、NQ(f) ≤ (log 3 / log 6)log(fool¹(f)) + 1 が得られる。
• 本稿は、エンタングルメント付き片側誤り許容量子プロトコルにおける等価性および素性なしの超定数下界の欠如を解消し、フェイリングセット法を用いて線形下界を証明した。