[論文レビュー] Operads up to Homotopy and Deformations of Operad Maps

van der Laan, P I Pepijn|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、$A$ を操作の集合とするとき、$A[-1]$ 上の余自由コオペラッドに微分を導入することで、$Q \to P$ のオペラッド写像の変形を制御する $L_∞$-代数を構成する。この構成は、コフibrント解体の選び方にかかわらず、 quasi-isomorphic な $L_\infty$-代数をもたらし、Markl の余接コホモロジーと Balavoine および Kontsevich–Soibelman の $Q$-代数の変形理論を統一する。

ABSTRACT

From the `cofree' cooperad $T'(A[-1])$ on a collection $A$ together with a differential, we construct an $L_\infty$-algebra structure on the total space $\bigoplus_nA(n)$ that descends to coinvariants. We use this construction to define an $L_\infty$-algebra controlling deformations of the operad $P$ under $Q$ from a cofibrant resolution for an operad $Q$, and an operad map $Q\longrightarrow P$. Starting from a diffent cofibrant resolution one obtains a quasi isomorohic $L_\infty$-algebra. This approach unifies Markl's cotangent cohomology of operads and the approaches to deformation of $Q$-algebras by Balavoine, and Kontsevich and Soibelman.

研究の動機と目的

• オペラッド $Q$ と $Q$-代数 $P$ の間の写像 $Q \to P$ の変形理論を定義すること。
• Markl や Balavoine、Kontsevich–Soibelman による $Q$-代数の変形理論の既存のアプローチを統一すること。
• 集合 $A$ 上の余自由コオペラッド $T'(A[-1])$ 上の微分を用いて、その変形を制御する $L_\infty$-代数を構成すること。
• 得られる $L_\infty$-代数が、コフibrant解体の選び方に依存せず、 quasi-isomorphism に依存して定義されることを示すこと。

提案手法

• 集合 $A$ を出発として、シフトされた集合 $A[-1]$ 上の余自由コオペラッド $T'(A[-1])$ を構成する。
• $T'(A[-1])$ に微分を導入し、全空間 $\bigoplus_n A(n)$ 上に $L_\infty$-代数構造を定義する。
• $L_\infty$-代数構造が余不変量へと降下することを保証し、ホモトピー的情報を保持する。
• 得られた $L_\infty$-代数を用いて、オペラッド写像 $Q \to P$ の変形を制御する。
• 異なるコフibrant解体の選択が、 quasi-isomorphic な $L_\infty$-代数をもたらすことを示す。
• この枠組みを通じて、Markl の余接コホモロジーと Balavoine および Kontsevich–Soibelman の変形理論が統一されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー代数を用いて、オペラッド写像 $Q \to P$ の変形理論をどのように構成できるか。
• RQ2 微分を備えた余自由コオペラッド $T'(A[-1])$ が、そのような変形を制御する $L_\infty$-代数を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ3 コフibrant解体の選び方が、得られる $L_\infty$-代数構造にどのように影響するか。
• RQ4 この構成が、なぜ Markl の余接コホモロジーと Balavoine や Kontsevich–Soibelman の変形理論を統一するのか。
• RQ5 オペラッド写像の変形を制御する $L_\infty$-代数を、解体の選び方に依存しない quasi-isomorphism の意味で定義可能か。

主な発見

• $T'(A[-1])$ 上の微分から、$\bigoplus_n A(n)$ 上に $L_\infty$-代数構造が構成され、これは余不変量へと降下する。
• この $L_\infty$-代数は、$Q$ がコフibrantly 解体されたとき、オペラッド写像 $Q \to P$ の変形を制御する。
• 異なるコフibrant解体の選択が、 quasi-isomorphic な $L_\infty$-代数をもたらすため、変形複体のホモトピー的不変性が保証される。
• この構成は、Markl の余接コホモロジーと、Balavoine や Kontsevich–Soibelman の $Q$-代数の変形理論を一般化・統一する。
• この枠組みは、オペラッド理論のさまざまな文脈に適用可能な、一様なホモトピー的モデルを提供する。
• この方法により、オペラッドホモトピー理論と $L_\infty$-代数的変形理論との間の体系的な関係が確立される。