[論文レビュー] Formal languages and groups as memory

Mark Kambites|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2006

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モノイドまたは群の要素を格納するレジスタを備えた有限オートマトンである $M$-オートマトンと $G$-オートマトンを導入し、チョムスキー＝シュッツェンベルガーの定理を群論的解釈する。文脈自由言語が2方向ドゥック言語の有理的トランスダクションであることを示し、計算モデルとして多項的モノイドと自由群を用い、群の代数的性質と言語クラスの性質を結びつける基盤的結果を証明する。

ABSTRACT

We present an exposition of the theory of finite automata augmented with a multiply-only register storing an element of a given monoid or group. Included are a number of new results of a foundational nature. We illustrate our techniques with a group-theoretic interpretation and proof of a key theorem of Chomsky and Schutzenberger from formal language theory.

研究の動機と目的

• モノイド／群メモリレジスタを備えたオートマトンの計算的・代数的アプローチを統合すること。
• コンピュータサイエンティストおよび純粋数学者の両者向けに、$M$-オートマトンと $G$-オートマトンの自己完結的入門を提供すること。
• モノイドおよび群の代数的性質と $M$-オートマトンが認識する言語クラスの閉包性質を結びつける基盤的結果を確立すること。
• 多項的モノイドと自由群を用いて、チョムスキー＝シュッツェンベルガーの定理の群論的証明を提供すること。
• 許容可能なパディングと有理的トランスダクションを介して、スタックオートマトンと自由群上の $G$-オートマトンの等価性を示すこと。

提案手法

• モノイド $M$ の要素を格納するレジスタを備えた有限オートマトンとして $M$-オートマトンを定義し、初期状態で単位元に設定され、入力処理中に乗算により更新される。
• $M$ が群である場合の $G$-オートマトンを定義し、受理条件を最終状態に到達した時点でレジスタが単位元にリセットされていることとして定義する。
• ドゥック言語の受理とレジスタ内での単位元の復帰の間の同型を用いて、多項的モノイド $P(X)$ および自由群 $F(X^\#)$ を用いてスタックオートマトンをモデル化する。
• 「許容可能なパディング」—$\#$ および $\#^{-1}$ の記号を挿入すること—を用い、$\overline{X}^*$ 上の語を $F(X^\#)$ および $P(X^\#)$ に埋め込み、単位元表現を保存する。
• 自由モノイド間の有理的トランスダクションを用いて言語クラスを関連付け、文脈自由言語がこのようなトランスダクションによるドゥック言語の像として生じることを示す。
• 自由群における単位元の保存を保つ許容可能なパディングの存在を根拠に、スタックオートマトンによる受理と自由群上の $G$-オートマトンによる受理の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チョムスキー＝シュッツェンベルガーの定理は、群記憶を備えた群論的オートマトンを用いてどのように再解釈され、証明されるか？
• RQ2 多項的モノイドと自由群は、スタックオートマトンおよび文脈自由言語をモデル化するために果たす役割は何か？
• RQ3 $F(X^\#)$ および $P(X^\#)$ における許容可能なパディングは、単位元表現をどのように保存し、オートマトンモデル間の等価性を可能にするか？
• RQ4 モノイドおよび群の代数的性質のうち、$M$-オートマトンが認識する言語クラスの閉包性質に対応するのは何か？
• RQ5 有理的トランスダクションおよび自由群または多項的モノイド上のオートマトンは、文脈自由言語をどのように特徴づけるか？

主な発見

• チョムスキー＝シュッツェンベルガーの定理は、自由群 $F(X^\#)$ 上の $G$-オートマトンを用いて証明され、文脈自由言語が2方向ドゥック言語の有理的トランスダクションであることが示された。
• 語 $w$ が多項的モノイド $P(X)$ で単位元を表すことは、$F(X^\#)$ で単位元を表す許容可能なパディングを $w$ が持つことと同値である。
• $w$ が $F(X^\#)$ で単位元を表す許容可能なパディングを持つことから、$w$ が自由群 $F(X^\#)$ 上の $G$-オートマトンによって受理されることと、スタックオートマトンによって受理されることの同値性が導かれる。
• パディングされた語とレジスタ内での単位元の復帰を介して、スタックオートマトンと自由群上の $G$-オートマトンの間の双対写像が確立された。
• 自由群の適切なアルファベット上での $G$-オートマトンが認識する言語クラスは、ちょうど文脈自由言語クラスに一致する。
• $M$-オートマトンの理論は、群の単語問題とその有理的部分集合問題、および言語クラスとの関係を理解する統合的枠組みを提供する。