[論文レビュー] Formal moduli problems and formal derived stacks

Damien Calaque, Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、導来変形理論を介して、形式的モジュライ問題と微分的可換 Lie 代数の間の対応を確立し、Drinfeldの哲学を一般化する。非分割形式的モジュライ問題へこの枠組みを拡張するために dg-Lie アーベイドロイドを用い、変形状況に対して Koszul 双対性のアプローチを導入し、導来代数的幾何と変形理論を、導来スタックの形式的太陽化の文脈で統一する。

ABSTRACT

This paper presents a survey on formal moduli problems. It starts with an introduction to pointed formal moduli problems and a sketch of proof of a Theorem (independently proven by Lurie and Pridham) which gives a precise mathematical formulation for Drinfeld's derived deformation theory philosophy, which gives a correspondence between formal moduli problems and differential graded Lie algebras. The second part deals with Lurie's general theory of deformation contexts, which we present in a slightly different way than the original paper, emphasising the (more symmetric) notion of Koszul duality contexts and morphisms thereof. In the third part, we explain how to apply this machinery to the case of non-split formal moduli problems under a given derived affine scheme; this situation has been dealt with recently by Joost Nuiten, and requires to replace differential graded Lie algebras with differential graded Lie algebroids. In the last part, we globalize this to the more general setting of formal thickenings of derived stacks, and suggest an alternative approach to results of Gaitsgory and Rozenblyum.

研究の動機と目的

• Drinfeld の導来変形理論的哲学を、形式的モジュライ問題と微分的可換 Lie 代数の間の同値性として形式化すること。
• Koszul 双対性の文脈を用いて Lurie の変形状況理論を再解釈し、双対性と対称性を強調することで、より対称的かつ概念的に明確な枠組みを提供すること。
• dg-Lie 代数の対応を、導来アフィンスキーム上の非分割形式的モジュライ問題へ一般化するために dg-Lie アーベイドロイドを導入すること。
• 導来スタックの形式的太陽化を研究することで理論をグローバルな設定へ拡張し、Gaitsgory と Rozenblyum の結果とは別の代替的枠組みを提供すること。
• 接複体、変形函手、ホモトピー的代数の間の体系的枠組みを、導来代数的幾何における提供すること。

提案手法

• dg-Lie 代数による変形函手の記述に、$\bar{\nabla}$-コホモロジーと Mauer–Cartan 形式主義を用いる。
• Lurie の変形状況理論を、双対性の文脈を強調する Koszul 双対性の文脈に再解釈して適用する。
• 非分割形式的モジュライ問題に対して、dg-Lie 代数の自然な一般化として、ベースとなる導来スキーム $Spec(A)$ 上の dg-Lie アーベイドロイドを導入する。
• 相対接複体を構成し、非分割の場合の変形函手を定義するために用いる。
• 階数付き混合 cdga と実現関手 $|{-}|$ を用いて、dg-Lie アーベイドロイドと Chevalley–Eilenberg コチェイン複体を関連付ける。
• 導来 de Rham 関手 $\text{DR}(-/B)$ を適用し、接複体の Koszul 双対性と Chevalley–Eilenberg 構成法との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld の導来変形理論的哲学を、$∞$-圏の同値性として正確にどのように定式化できるか？
• RQ2 Koszul 双対性は、変形状況およびそれらの間の準同型をどのように整理・統合するか？
• RQ3 dg-Lie アーベイドロイドは、ベースとなる導来スキーム上での非分割形式的モジュライ問題の研究において、どのように dg-Lie 代数を置き換えるか？
• RQ4 導来スタックの形式的太陽化のグローバル構造は何か？ そして、局所的変形理論とどのように関係するか？
• RQ5 Koszul 双対性の枠組みを用いて、アフィンの場合を超えて形式的モジュライ問題の理論を拡張できるか？

主な発見

• 体 $ℚ$ 上の点付き形式的モジュライ問題の $∞$-圏と微分的可換 Lie 代数の $∞$-圏との間で、正確な同値性が確立された。
• 形式的モジュライ問題の一点における接複体は、$[-1]$-シフトにより自然に $L_∞$-代数構造をもつ。これは Kapranov の結果を一般化する。
• $Spec(A)$ 上の非分割形式的モジュライ問題に対して、変形理論は $A$ 上の dg-Lie アーベイドロイドによって制御される。これは dg-Lie 代数の場合の一般化である。
• 形式的モジュライ問題の $Spec(A)$ 上での相対接複体は、関連する dg-Lie アーベイドロイドの Chevalley–Eilenberg 複体と同型である。
• 導来 de Rham 複体 $\text{DR}(A/B)$ は Chevalley–Eilenberg 構成法の Koszul 双対を提供し、同値性 $|\mathrm{CE}^\epsilon_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})| \simeq \mathrm{CE}^\bullet_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})$ が成り立つ。
• $\mathbb{L}_{A/B}$ が係数が有界でかつ coherent であるとき、写像 $\mathbb{DR}(A/B) \to \mathrm{CE}^\epsilon_{B/A}(\mathbb{T}_{A/B})$ は同値である。これは双対性枠組みが正当化されたことを確認する。