[論文レビュー] Formulas for p-adic q-integrals including falling-rising factorials, combinatorial sums and special numbers

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、p進q積分（特にボルケンボルン積分およびp進フェルミオン積分）を下降階乗と上昇階乗および二項係数に適用することにより、公式を導出するための新規なフレームワークを提示する。この手法により、組合せ的和、特殊数（例：ベルヌーイ数、オイラー数、Daehee数、Changhee数）の生成関数および閉形式表現に関する新規かつ既知の恒等式が得られ、これらの積分および関連する数列の数値計算の効率が著しく向上する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to provide a novel approach to deriving formulas for the p-adic q-integral including the Volkenborn integral and the p-adic fermionic integral. By applying integral equations and these integral formulas to the falling factorials, the rising factorials and binomial coefficients, we derive some new and old identities and relations related to various combinatorial sums, well-known special numbers such as the Bernoulli and Euler numbers, the harmonic numbers, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, the Daehee numbers and the Changhee numbers. Applying these identities and formulas, we give some new combinatorial sums. Finally, by using integral equations, we derive generating functions for new families of special numbers and polynomials. We also give further comments and remarks on these functions, numbers and integral formulas.

研究の動機と目的

• p進q積分（ボルケンボルン積分およびp進フェルミオン積分を含む）を含む公式を統一的に導出するためのアプローチを開発すること。
• p進積分と組合せ的和、下降階乗および上昇階乗、特殊数との間の既存および新規の恒等式を確立すること。
• 積分方程式および関連する生成関数を用いて、特殊数および多項式の新規な族を生成すること。
• 導出された閉形式表現を用いて、階乗多項式を含むp進積分の数値計算の効率を向上させること。

提案手法

• p進q積分を $ I_q(f(x)) = \int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_q(x) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{[p^N]_q} \sum_{x=0}^{p^N-1} f(x) q^x $ として定義し、$ q \in \mathbb{C}_p $、$ |1-q|_p < 1 $ を満たす。
• 下降階乗 $ x_{(n)} $、上昇階乗 $ x^{(n)} $、二項係数に積分方程式を適用して恒等式を導出する。
• 古典的結果を回復するために、ボルケンボルン積分（$ q \to 1 $）およびp進フェルミオン積分（$ q \to -1 $）を極限ケースとして用いる。
• 積分に基づく生成関数構成法を用いて、特殊数（例：ベルヌーイ数、オイラー数、Daehee数、Changhee数）の生成関数を導出する。
• スターリング数 $ S_1(n,k) $、$ S_2(n,k) $、ラーハ数の既知の恒等式と組み合わせることで、新規な組合せ的和を生成する。
• リーマン積分および積分恒等式を用いて、ベルヌーイ数およびカウチ数を含む和の閉形式表現を検証および導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進q積分を下降階乗および上昇階乗に体系的に適用することで、新規な恒等式を導出する方法は何か？
• RQ2 p進積分を二項係数および階乗多項式に適用した場合、どのような新規な組合せ的和および関係が生じるか？
• RQ3 ボルケンボルン積分およびp進フェルミオン積分は、ベルヌーイ数およびオイラー数などの特殊数に関して、既存の結果をどのように統一的または一般化するか？
• RQ4 これらの特殊数および多項式を含む積分方程式から、どのような生成関数を構成できるか？
• RQ5 スターリング数を用いたp進積分技法を用いて、ベルヌーイ数を含む和の閉形式表現を導出できるか？

主な発見

• 下降階乗恒等式のボルケンボルン積分を用いて、恒等式 $ \sum_{k=0}^{n} n_{(n-k)} \frac{k!}{k^2 + 3k + 2} = \frac{(n-1)!}{n+1} $ が導出された。
• ボルケンボルン積分および生成関数恒等式を用いて、公式 $ \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{[\frac{n-j}{2}]} \binom{n}{j} S_{12}(n-j,k) B_{k+j} = (-1)^n \frac{n!}{n+1} $ が証明された。
• 第1種スターリング数を含む二項係数恒等式にボルケンボルン積分を適用することで、恒等式 $ \sum_{j=0}^{n} S_1(n,k) B_k = \frac{(-1)^n n!}{n+1} $ が確立された。
• 下降階乗における単項式展開の変形形にボルケンボルン積分を適用することで、公式 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{k!}{k+1} S_2(n,k) $ が導出された。
• スターリング数の第2種を介してベルヌーイ数をDaehee数に直接結びつける関係 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} D_k S_2(n,k) $ が得られた。
• リーマン積分およびp進積分技法を用いて、第1種カウチ数の新規な表現 $ \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{k+1} S_1(n,k) = b_n(0) $ が導出された。