[論文レビュー] Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture

Hing Yin Tsang, Chung Hoi Wong+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ブール関数のフーリエスパarsityとスペクトルノルムを活用して、XOR関数 $f(x \oplus y)$ の決定的通信複雑性に関する新たな上界を確立する。定数 $
mathbb{F}_2$-次数を持つ関数については、通信複雑性が $O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$ で抑えられ、一般関数については $O(d \|\hat{f}\|_1)$ で抑えられ、自明な線形境界よりもほぼ2乗の要因で改善される。主な貢献は、多項式ランクの変種に基づく次数低減プロトコルであり、通信コストがランクに関して多対数的であるという予想を支持する。

ABSTRACT

We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x\oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x\oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} ||\hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for XOR functions with constant F2-degree. 2. D^CC(f) = O(d ||\hat f||_1) = O(\sqrt{rank(M_f)}\logrank(M_f)). We obtain our results through a degree-reduction protocol based on a variant of polynomial rank, and actually conjecture that its communication cost is already \log^{O(1)}rank(M_f). The above bounds also hold for the parity decision tree complexity of f, a measure that is no less than the communication complexity (up to a factor of 2). Along the way we also show several structural results about Boolean functions with small F2-degree or small spectral norm, which could be of independent interest. For functions f with constant F2-degree: 1) f can be written as the summation of quasi-polynomially many indicator functions of subspaces with \pm-signs, improving the previous doubly exponential upper bound by Green and Sanders; 2) being sparse in Fourier domain is polynomially equivalent to having a small parity decision tree complexity; 3) f depends only on polylog||\hat f||_1 linear functions of input variables. For functions f with small spectral norm: 1) there is an affine subspace with co-dimension O(||\hat f||_1) on which f is a constant; 2) there is a parity decision tree with depth O(||\hat f||_1 log ||\hat f||_0).

研究の動機と目的

• XOR関数 $f(x \\oplus y)$ の通信複雑性を調査し、特にローグランク予想と関連して分析すること。
• フーリエスペクトルが疎またはスペクトルノルムが小さいブール関数の構造的性質を理解すること。
• フーリエ解析的ツールを用いて、決定的通信複雑性 $\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus)$ のより緊密な上界を確立すること。
• ランクに関する自明な線形境界を、ほぼ2乗の要因で改善すること。

提案手法

• 関数 $f$ の $\mathbb{F}_2$-次数を低減するために必要なパリティクエリの数を分析するため、多項式ランクの変種に基づく次数低減プロトコルを導入する。
• 通信複雑性を抑え込むために、スペクトルノルム $\|\hat{f}\|_1$ とフーリエスパarsity $\|\hat{f}\|_0$ を主要なパラメータとして用いる。
• Gopalanらの補題34を適用し、$\ell_2$-ノルムで疎関数に近い関数は、低フーリエスパarsityのブール関数に対しても近いことを示す。
• 補題33を活用して、フーリエスパarsityが小さい関数は、$\log^{O(1)}\|\hat{f}\|_0$ 個のパリティクエリで計算可能であることを示す。
• XOR関数では、通信行列 $M_f$ のランクが $f$ のフーリエスパarsityに等しいことを利用する。
• プロトコルの通信コストが $\log^{O(1)}\mathrm{rank}(M_f)$ であると予想し、ローグランク予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XOR関数の通信複雑性は、フーリエスパarsityとスペクトルノルムの観点から上界を示せるか？
• RQ2 多項式ランクに基づく次数低減プロトコルは、近似的に最適な通信コストを達成できるか？
• RQ3 定数 $\mathbb{F}_2$-次数を持つXOR関数の通信複雑性は、$O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$ で抑えられるか？
• RQ4 スペクトルノルムを用いることで、ランクに関する自明な線形境界をほぼ2乗の要因で改善できるか？
• RQ5 提案されたプロトコルの通信コストは、通信行列のランクに関して多対数的か？

主な発見

• 定数 $\mathbb{F}_2$-次数 $d$ を持つXOR関数について、$\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus) = O(2^{d^2/2} \log^{d-2} \|\hat{f}\|_1)$ であり、このクラスについてローグランク予想が裏付けられる。
• 一般関数について、$\sf{D^{CC}}(f \circ \oplus) = O(d \|\hat{f}\|_1) = O(\sqrt{\mathrm{rank}(M_f)} \log \mathrm{rank}(M_f))$ であり、自明な線形境界をほぼ2乗の要因で改善する。
• 定数 $\mathbb{F}_2$-次数を持つ関数は、準多項式個のサブスペースの符号付き指標関数の和として表現可能であり、グリーンとサンドーズの二重指数的境界を改善する。
• 定数 $\mathbb{F}_2$-次数を持つ関数について、フーリエスパarsityとパリティ意思決定木の複雑さは多項式的に同等である。
• スペクトルノルムが小さい関数について、$f$ が定数となる、コランク $O(\|\hat{f}\|_1)$ のアフィン部分空間が存在する。
• スペクトルノルムが小さい関数について、深さ $O(\|\hat{f}\|_1 \log \|\hat{f}\|_0)$ のパリティ意思決定木が存在する。