[論文レビュー] Fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$ with critical growth

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変分法と新規の濃縮・コンパクトネス補題を用いて、$ℝ^N$ 上の臨界成長を有する分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式に対して、非自明で非負の弱解の存在を確立する。主な結果は、非線形項の超線形的・臨界未満の成長条件および有界で非自明な摂動 $h$ の下で、十分に大きな $λ > 0$ に対してそのような解が存在することを示している。弱解列のペイリス＝スモールの列に対する弱極限に関する精密な推定により、臨界指数に起因するコンパクトネスの欠如を克服した。

ABSTRACT

We deal with the following nonlinear problem involving fractional $p\&q$ Laplacians: \begin{equation*} (-\Delta)^{s}_{p}u+(-\Delta)^{s}_{q}u+|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=\lambda h(x) f(u)+|u|^{q^{*}_{s}-2}u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $1<p<q<\frac{N}{s}$, $q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$, $\lambda>0$ is a parameter, $h$ is a nontrivial bounded perturbation and $f$ is a superlinear continuous function with subcritical growth. Using suitable variational arguments and concentration-compactness lemma, we prove the existence of a nontrivial non-negative solution for $\lambda$ sufficiently large.

研究の動機と目的

• 整空間 $ℝ^N$ 上の臨界成長を有する分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式に対して、非自明で非負の弱解の存在を確立すること。
• 非有界領域における臨界指数 $q_s^*$ に起因するコンパクトネスの欠如を扱うこと。
• マウンテンパス定理やリオンズの濃縮・コンパクトネス原理を含む変分的技法を、臨界非線形性を有する非局所的 $p\&q$ フレームワークに拡張すること。
• 非線形項 $f$ および摂動 $h$ に適切な仮定を置いた下で、パrameter $λ > 0$ が十分に大きい値である場合に解が存在することを証明すること。

提案手法

• 関数空間 $X = W^{s,p}(\u211d^N) \cap W^{s,q}(\u211d^N)$ 上で定義されたオイラー＝ラグランジュ汎関数 $J(u)$ を用いて問題を臨界点問題として定式化する。
• ペイリス＝スモール列 $(u_n)$ を有する臨界レベル $c^*$ を得るためにマウンテンパス定理を適用する。
• 分数階 $p$-ラプラシアンに特化した、濃縮・コンパクトネス補題の変種を用いて、ペイリス＝スモール列の弱極限が弱解であることを示す。
• ブレジス＝リーブの補題および補間不等式を用いて、有界性と弱収束の下で $u_n \to u$ が $L^t(\u211d^N)$（$t \in (p, q_s^*]$）および $X$ で強い収束することを示す。
• 方程式のオイラー＝ラグランジュ形式に $u^- = \min\{u, 0\}$ を代入し、$t > 1$ に対して $|x-y|^{t-2}(x-y)(x^--y^-) \geq |x^--y^-|^t$ が成り立つ不等式を用いて解の非負性を証明する。
• 関数 $F(u^+)$ を用いて定義される汎関数 $J_+(u)$ が非負解を与えることを示し、$\|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0$ を示すことで $u^- = 0$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^N$ 上の臨界成長を有する分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式が、非自明な弱解を有するための条件は何か？
• RQ2 非有界領域において臨界指数 $q_s^*$ に起因するコンパクトネスの欠如はどのように克服できるか？
• RQ3 パrameter $λ$ は解の存在にどのように寄与するのか？どのような値に対して非自明な解が存在するか？
• RQ4 マウンテンパス定理のような変分法が、臨界非線形性を有する非局所的 $p\&q$ 演算子に適応可能か？
• RQ5 複数の非局所的作用素を含む文脈において、分数階 $p$-ラプラシアンを扱うために濃縮・コンパクトネス原理をどのように修正できるか？

主な発見

• すべての $\lambda \geq \lambda^*$ に対して、ある $\lambda^* > 0$ が存在し、問題 (1.1) は非自明で非負の弱解を有する。
• 汎関数 $J$ にマウンテンパス定理を適用することで、正の臨界レベル $c^*$ が達成され、そのレベルに対応する解が得られる。
• 無限遠における濃縮の消失および点での質量の消失により、ペイリス＝スモール列の弱極限が $X$ 内で強い収束する。
• 分数階 $p$-ラプラシアンに特化した濃縮・コンパクトネス補題を適応することで、すべての $i \in I$ に対して $\nu_i = 0$ および $\nu_\infty = 0$ が得られ、これは $u_n \to u$ が $L^{q_s^*}(\u211d^N)$ で成り立つことを示唆する。
• 非負性の証明は、$\|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0$ を示すことにより行われ、これにより $u^-$ は almost everywhere で 0 であることが保証される。
• ブレジス＝リーブの補題および $L^t$-空間（$t \in (p, q_s^*]$）における非線形項の収束を用いて、$X$ 内で $u_n \to u$ の強い収束が確立される。