[論文レビュー] Fractional Schrodinger-Poisson Equations With General Nonlinearities

Ronaldo C. Duarte, Marco A. S. Souto|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の非線形性を有する $\mathbb{R}^3$ 上の分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、ネハリ多様体法と新規の弱比較原理を用いて、正解および基底状態解の存在を確立する。主な結果として、ポテンシャル $V$ および非線形性 $f$ に対して適切な条件が満たされ、一般化されたアンブロセッティ＝ラビノヴィッツ型条件が成立する場合、弱解が almost everywhere で正であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the existence of positive solutions and ground state solution for a class of fractional Schrödinger-Poisson equations in $\mathbb R^3$ with general nonlinearities.

研究の動機と目的

• 一般非線形性を有する $\mathbb{R}^3$ 上の分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、正解の存在を確立すること。
• ネハリ多様体法を用いて基底状態解の存在を証明すること。
• 正則性理論に依存せずに、弱解がほとんど everywhere で正であることを示すこと。
• 局所的ラプラシアンの場合の既存結果を、非局所的分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系の設定に拡張すること。
• 対応する対数補題の新バージョンおよび系に対する弱比較原理を開発すること。

提案手法

• 系に付随するエネルギー汎関数の臨界点を求めるために、ネハリ多様体法を用いる。
• 再考された対数補題に基づいて導出された新規の弱比較原理を適用し、弱解の正値性を証明する。
• シュレーディンガー方程式およびポアソン方程式にそれぞれ $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ および $t \in (0,1)$ の分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ を用いる。
• Lax-Milgramの定理を用いて、$(-\Delta)^t \phi = u^2$ を満たす一意的な $\phi_u \in \dot{H}^t(\mathbb{R}^3)$ の存在を確立する。
• 有界な $H^s(\mathbb{R}^3)$ 内の列における散逸および二分の現象を取り扱うために、Lionsの補題（補題 1.3）を適用する。
• 汎関数 $H(u) = u f(u) - 4F(u)$ が非負かつ非減少であることを保証するため、条件 $(f_5)$、すなわち $f(u)/|u|^3$ が増加関数であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般非線形性を有する分数マクロシュレーディンガー＝ポアソン系は、正の弱解を有するか？
• RQ2 非局所的分数マクロシュレーディンガー系において、ネハリ多様体法を用いて基底状態解を保証できるか？
• RQ3 正則性理論を用いずに、弱解の正値性を証明することは可能か？
• RQ4 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ の選択が、臨界指数 $2_s^* = \frac{6}{3-2s}$ を考慮した解の存在にどのように影響するか？
• RQ5 一般化されたアンブロセッティ＝ラビノヴィッツ型条件 $(f_5)$ は、基底状態解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 条件 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$、$t \in (0,1)$、および $(V_0)$ と $(V_1)$ を満たす $V$ の下で、系は正解を有する。
• $s$、$t$、$V$、$f$ に対して同じ仮定が成り立つ場合、基底状態解が存在し、それはネハリ多様体上の最小化問題として達成される。
• 正則性結果を用いずに、新規の弱比較原理を用いて、弱解が $\mathbb{R}^3$ 上 almost everywhere で正であることが示される。
• 区間 $(4, 2_s^*)$ が非退化であるのは $s > \frac{3}{4}$ のときのみであり、これは成長条件 $(f_3)$ にとって不可欠である。
• 条件 $(f_5)$ により、$H(u) = u f(u) - 4F(u)$ が非負かつ非減少であることが保証され、これはネハリ多様体解析にとって不可欠である。
• 証明における背理法により、$\lim_{n \to \infty} s_n = 1$ が示され、スケーリング列が基底状態に収束することが確認される。