[論文レビュー] Framed bordism and Lagrangian embeddings of exotic spheres

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、標準球 $T^*S^{4k+1}$ の余接 bundle 内にラグランジュ部分多様体として埋め込まれる任意のホモトピー球面は、コンpaktoな並進可能多様体を境界として持つことを確立する。パラメトライズドされた摂動コーシー＝リーマン方程式の族と、ホロモルフィックなドーナツ型および球面型バブルを含むグロモフ＝フロアコンパクト化を用いて、境界にラグランジュ部分多様体を含むコーナーを持つ滑らかな多様体を構成する。$K$-理論とホロモルフィック曲線解析を用いて、その境界多様体が並進可能であることを証明する。この結果により、例えば次元9における28個の異種球面のうち、一部は $T^*S^9$ にラグランジュ部分多様体として埋め込めず、微分同相型を超えたシンプレクティック構造の区別が可能になる。

ABSTRACT

In dimensions congruent to 1 modulo 4, we prove that the cotangent bundle of an exotic sphere which does not bound a parallelisable manifold is not symplectomorphic to the cotangent bundle of the standard sphere. More precisely, we prove that such an exotic sphere cannot embed as a Lagrangian in the cotangent bundle of the standard sphere. The main ingredients of the construction are (1) the fact that the graph of the Hopf fibration embeds the standard sphere, and hence any Lagrangian which embeds in its cotangent bundle, as a displaceable Lagrangian in the product a symplectic vector space of the appropriate dimension with its complex projective space, and (2) a moduli space of solutions to a perturbed Cauchy-Riemann equation introduced by Gromov.

研究の動機と目的

• ホモトピー球面が $T^*S^{4k+1}$ にラグランジュ部分多様体として埋め込まれるならば、コンパクトで並進可能多様体を境界として持つことを証明すること。
• 近傍ラグランジュ予想への重要な一歩を解決し、シンプレクティック位相が特定の異種微分構造を妨げる理由を示すこと。
• シンプレクティック構造 $T^*S^{4k+1}$ が、微分同相型を超えて基底球面の微分構造を検出できることを示すこと。
• ドーナツ型および球面型バブルを伴う擬全純曲線のモジュライ空間を貼り合わせることで、コンパクトで並進可能境界多様体を構成すること。

提案手法

• コンパクト台付きハミルトニアン同倫を用いて、シンプレクティック多様体 $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 上で摂動コーシー＝リーマン方程式の1パラメータ族を構成する。
• グロモフ＝フロアコンパクト化を用いて、ホロモルフィックなドーナツ型および球面型バブルを含む解を含む、境界がラグランジュ部分多様体と微分同相であるコンパクト化されたモジュライ空間を構成する。
• ドーナツ型バブルのストラタを、2番目のホロモルフィックなドーナツ型曲線のモジュライ空間を用いて閉じることで、境界が $L$ である閉じた多様体を形成する。一方、球面型バブルのストラタは $S^2$ 上のバンドルとして記述される。
• モジュライ空間の接空間の $K$-理論類を解析し、それが滑らかな写像の空間から引き上げられることを示すことにより、得られた多様体が並進可能であることを証明する。
• $n$ が偶数のとき $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ が偶数の第1チエーン類を持つことを利用して、$K$-理論類が並進可能性と整合する形で自明であることを保証する。
• 解析的推定とソボレフ埋め込みを用いて、高次元ストラタ付近での解の貼り合わせを制御し、コーナーを持つ滑らかな多様体の滑らかさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並進可能多様体の境界でない異種球面が、$T^*S^{4k+1}$ にラグランジュ部分多様体として埋め込めるか。
• RQ2 シンプレクティック構造 $T^*S^{4k+1}$ は、微分同相型を超えて基底球面の微分構造を検出できるか。
• RQ3 球面の余接 bundle 内にホモトピー球面がラグランジュ埋め込みされる場合に生じる位相的障害は何か。
• RQ4 ドーナツ型および球面型バブルを伴う擬全純曲線のモジュライ空間は、並進可能境界多様体の構成にどのように寄与するか。
• RQ5 次元が $4k+1$ であるという $4$ を法とする値が、並進可能性の議論においてなぜ重要なのか。

主な発見

• 任意のホモトピー球面が $T^*S^{4k+1}$ にラグランジュ部分多様体として埋め込まれるならば、コンパクトで並進可能多様体を境界として持つ。これは定理1.1で述べられている。
• 次元9では、8個の異種球面のうち、並進可能多様体を境界として持つのは2つにとどまるため、残りの6つは $T^*S^9$ にラグランジュ部分多様体として埋め込めない。これは系1.2による。
• $\Sigma^{4k+1}$ が並進可能多様体の境界でない異種球面であるならば、$T^*Σ^{4k+1}$ と $T^*S^{4k+1}$ はシンプレクティック同型ではない。
• 境界多様体の構成は、ドーナツ型および球面型バブルを伴う擬全純曲線のモジュライ空間の貼り合わせに依存し、コーナーを持つ滑らかな多様体が得られる。
• 境界多様体の並進可能性は、モジュライ空間の接空間の $K$-理論解析により確立され、$n$ が偶数のとき $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ の第1チエーン類が偶数であることを利用している。
• 議論は次元が $4k+1$ であることに強く依存しており、$K$-理論計算において $4$ を法とする値が入り込み、接バンドルの自明性を保証する。