[論文レビュー] Framed motives of smooth affine pairs

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限大の完全体 $k$ 上の滑らかでアフィンなスキーム $X$ とその開部分スキーム $U \subset X$ からなる滑らかでアフィンな対 $(X, U)$ に対して、フレームドモチーフの理論を拡張する。フレームド対応を用いて、モチーフ的ホモトピー論における懸垂スペクトル $Σ_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ の明示的なモチーフ的ファイブレーションを持つ $Ω$-分解を構成し、スペクトル $Δ_{Τ}(X_+/U_+)_{f}$ が正の次数でファイブレーションを持つ $Ω$-スペクトルと安定同値であることを証明する。

ABSTRACT

The theory of framed motives by Garkusha and Panin gives computations in the stable motivic homotopy category $\mathbf{SH}(k)$ in terms of Voevodsky's framed correspondences. In particular the motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees of the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty X_+$, where $X_+=X\amalg *$, for a smooth scheme $X\in \mathrm{Sm}_k$ over an infinite perfect field $k$, is computed. The computation by Garkusha, Neshitov and Panin of the framed motives of relative motivic spheres $(\mathbb A^l imes X,(\mathbb A^l-0) imes X)$, $X\in \mathrm{Sm}_k$, is one of ingredients in the theory. In the article we extend this result to the case of a pair $(X,U)$ given by a smooth affine variety $X$ over $k$ and an open subscheme $U\subset X$. The result gives the explicit motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees for the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty (X_+/U_+)$ of the factor-sheaf $X_+/U_+$.

研究の動機と目的

• 滑らかなスキームから滑らかでアフィンな対 $(X, U)$ へのフレームドモチーフ理論の一般化。
• 滑らかでアフィンな $X$ に対して、モチーフ的ホモトピー論における懸垂スペクトル $Σ_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ のモチーフ的ファイブレーションを持つ $Ω$-分解を計算すること。
• フレームドモチーフの構成 $Δ_{Τ}(X_+/U_+)_{f}$ が正の次数でモチーフ的ファイブレーションを持つ $Ω$-スペクトルを定めるという事実を確立すること。
• ガルクーシャ、ネシトフ、パニンのコーン定理をアフィン対の状況に拡張し、$Δ_{Τ}(X,U)$ が $Δ_{Τ}(k)$ 内で $X/U$ の幾何的モデルを提供すること。

提案手法

• ヴォエバドスキーのフレームド対応を用いて、幾何的フレームド写像のデータを捉えるために、$\mathrm{Fr}(-, X/U)$ を $n$ に関する $\mathrm{Fr}_n(-, X/U)$ の列挙のコロイミットとして定義する。
• $\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge S^i)$ 上での $C^*$-構成を用いて $S^1$-スペクトル $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)$ を構成し、$\Delta^\bullet \times -$ を用いた単体的余近似を適用する。
• レベルごとのインジェクティブ局所ファイブレーション置換 $(-)_f$ を適用することで、得られるスペクトルが正の次数でモチーフ的にファイブレーションを持つように保証する。
• $\mathbb{P}^1$-スペクトル $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ を、$\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m$-スペクトルから $\mathbb{P}^1$-スペクトルへの自然な函手 $\nu$ を通じて像として定義し、安定同値性を保つ。
• スペクトル $Σ_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ と $Δ_{Τ}(X,U)_{f}$ の間、および $Σ_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ と $\mathbb{G}_m$-バイスペクトル $Δ^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ の間で、安定モチーフ的弱同値が成立することを確立する。
• 鍵となる技術的道具：$\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m$ と $\mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$ の間の $\mathbb{A}^1$-局所同値が、$\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ と $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 間の同値を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレームドモチーフの構成を滑らかなスキームから、$U \subset X$ が開部分スキームである滑らかでアフィンな対 $(X, U)$ にどのように拡張できるか？
• RQ2 滑らかでアフィンな $X$ に対して、$S^1$-スペクトル $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ は正の次数でモチーフ的にファイブレーションを持つか？
• RQ3 自然な写像 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+) \to \mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ は、$\mathbf{SH}(k)$ 内で安定モチーフ的弱同値を誘導するか？
• RQ4 $\mathbb{P}^1$-スペクトル $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ は、自然な函手 $\nu$ を通じて $\mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$-スペクトルの像として実現可能か？
• RQ5 フレームドモチーフスペクトル $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ と反復懸垂スペクトル $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ の間の関係は何か？

主な発見

• $T = (\mathbb{A}^1, \mathbb{A}^1 \setminus 0)$ を用いて $C^*\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge T^i)$ として定義されるスペクトル $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ は、正の次数でモチーフ的にファイブレーションを持つ $\Omega_{\mathbb{P}^1}$-スペクトルである。
• 自然な写像 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+) \to \mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ は、$\mathbf{SH}(k)$ 内で安定モチーフ的弱同値である。
• $S^1$-スペクトル $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ は正の次数でモチーフ的にファイブレーションを持つ $\Omega$-スペクトルであり、$\mathbf{SH}_{S^1}(k)$ 内で正しいホモトピー型を持つ。
• $\mathbb{G}_m$-バイスペクトル $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ は $S^1$-正の次数でモチーフ的にファイブレーションを持つ $\Omega$-バイスペクトルであり、$\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ と安定同値である。
• $\mathbb{A}^1$-局所同値 $\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m \simeq \mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$ は、フレームド対応層 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ と $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 間の強い $\mathbb{A}^1$-局所同値を誘導し、スペクトルの比較を可能にする。
• 構成 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ は $\nu(\mathrm{M}^T_{\mathrm{fr}}(X,U))$ として得られ、$\nu$ は $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$ から誘導される函手であり、安定同値性を保つ。