[論文レビュー] Free and cofree Hopf algebras

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、標数0の体上の階数付き、連結、自由かつコフリーなホップ代数が、自己双対であり、そのペアコホモロジー・ヒルベルト級数によって同型を除いて分類可能であることを確立する。また、原始的要素のリー代数が自由であることを証明し、二つのこのようなホップ代数が非階数付きホップ代数として同型であるための必要十分条件は、その原始的要素のアーベル化の次元が等しいことである。

ABSTRACT

We first prove that a graded, connected, free and cofree Hopf algebra is always self-dual; then that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic if, and only if, they have the same Poincaré-Hilbert formal series. If the characteristic of the base field is zero, we prove that the Lie algebra of the primitive elements of such an object is free, and we deduce a characterization of the formal series of free and cofree Hopf algebras by a condition of growth of the coefficients. We finally show that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic as (non graded) Hopf algebras if, and only if, the Lie algebra of their primitive elements have the same number of generators.

研究の動機と目的

• 自由かつコフリーなホップ代数が常に自己双対であるかどうかを特定すること。
• 同じペアコホモロジー・ヒルベルト級数を持つ二つのこのようなホップ代数が同型であるかどうかを調査すること。
• 標数0の体上の自由かつコフリーなホップ代数における原始的要素のリー代数の構造を特徴づけること。
• 自由かつコフリーなホップ代数が非階数付きホップ代数として同型であるための条件を確立すること。

提案手法

• 自由かつコフリーなホップ代数に、非分解的原始的要素の空間上のペアリングから得られる非退化的かつ対称なホップペアリングを構成する。
• 代数 $H$ 全体に、$\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 上の対称ペアリングを拡張することで、自己双対性を証明する。
• 非退化的かつ対称なホップペアリングの存在を用いて、二つのこのようなホップ代数が同型であるための必要十分条件がペアコホモロジー・ヒルベルト級数が等しいことであることを示す。
• ホップ代数に二重順序を導入して階数を精緻化し、原始的要素のリー代数の構造を分析する。
• 非可換コンヌ＝クレーマー・ホップ代数の剛性を活用し、非分解的原始的要素の形式的級数 $S(h)$ を任意に選べることを示す。
• 標数0において原始的要素のリー代数が自由であるという事実を用いて、ペアコホモロジー・ヒルベルト級数の係数に対する成長条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての階数付き、連結、自由かつコフリーなホップ代数は自己双対か？
• RQ2 同じペアコホモロジー・ヒルベルト級数を持つ二つの階数付き、連結、自由かつコフリーなホップ代数は同型か？
• RQ3 標数0の体上の自由かつコフリーなホップ代数における原始的要素のリー代数の構造は何か？
• RQ4 二つの自由かつコフリーなホップ代数が非階数付きホップ代数として同型であるのはいつか？
• RQ5 自由かつコフリーなホップ代数の形式的級数は、その係数に対する成長条件によって特徴づけられるか？

主な発見

• 階数付き、連結、自由かつコフリーなホップ代数は、$\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 上のペアリングから得られる非退化的かつ対称なホップペアリングによって自己双対である。
• 二つのこのようなホップ代数は、階数付きホップ代数として同型であるための必要十分条件がペアコホモロジー・ヒルベルト級数が等しいことである。
• 標数0において、自由かつコフリーなホップ代数の原始的要素のリー代数は自由である。
• 自由かつコフリーなホップ代数の形式的級数は、補題19で示されるように、係数に対する成長条件によって特徴づけられる。
• 二つの自由かつコフリーなホップ代数が非階数付きホップ代数として同型であるための必要十分条件は、それぞれのアーベル化 $\frac{\mathfrak{g}}{[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]}$ および $\frac{\mathfrak{g}'}{[\mathfrak{g}', \mathfrak{g}']}$ の次元が等しいことである。
• ホップ代数 $\mathbf{FQSym}$, $\mathbf{PQSym}$, $\mathcal{H}_{LR}$, $\mathbf{YSym}$, $\mathcal{H}_{NCK}$ およびそれらの装飾付き版は、すべて原始的要素のアーベル化が無限次元であるため、非階数付きホップ代数として同型である。