[論文レビュー] Free-monodromic mixed tilting sheaves on flag varieties

Pramod N. Achar, Shotaro Makisumi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、混合モジュラー導来圏を用いて、カク＝ムーディ旗多様体上の自由モノドロミックな混合ティルティング層のモノイダル圏を構成し、モジュラー Koszul双対性の基礎的な枠組みを確立する。主な貢献は、この設定における畳み込みの関手的性の証明であり、図式的およびホモロジー論的手段を用いて、特徴値 0 の結果を正標数へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we propose a construction of a monoidal category of "free-monodromic" tilting perverse sheaves on (Kac-Moody) flag varieties in the setting of the "mixed modular derived category" introduced by the first and third authors. This category shares most of the properties of their counterpart in characteristic 0, defined by Bezrukavnikov-Yun using certain pro-objects in triangulated categories. This construction is the main new ingredient in the construction of a "modular Koszul duality" equivalence for constructible sheaves on flag varieties, see [P. Achar, S. Makisumi, S. Riche, and G. Williamson, "Koszul duality for Kac-Moody groups and characters of tilting modules", J. Amer. Math. Soc. 32 (2019)].

研究の動機と目的

• 特徴値 0 の Bezrukavnikov–Yun 理論を正標数に拡張し、カク＝ムーディ旗多様体上の自由モノドロミックな混合ティルティング層のモノイダル圏を構築すること。
• 混合モジュラー導来圏を用いて、旗多様体上の構造的層に対するモジュラー版の Koszul 双対性を確立すること。
• 自由モノドロミックなティルティング複体の畳み込みが交換法則を満たすことを証明し、カテゴリにモノイダル構造を与えること。
• モノドロミーおよび重みフィルトレーションと整合する、カク＝ムーディ設定におけるティルティング層の図式的かつホモロジー論的枠組みを提供すること。
• 最小の Rouquier 複体を有理数体からモジュラー設定へと上げ、混合モジュラー設定における畳み込みに関してその関手的性を証明すること。

提案手法

• Elias–Williamson 計算の図式的技法を用いて、左および右モノドロミー作用を組み込んだ自由モノドロミックな導来圏を構成する。
• カルーブィアン包と dgg 代数を用いて、左モノドロミックまたは右不変構造を持つ複体に三角的構造を導入する。
• 導来圏における双モジュラー Hom 空間を用いて畳み込みを定義し、整合性条件を用いて結合的および単位的であることを証明する。
• 基底変換を用いて、混合モジュラー圏における準同型に関する主張を有理数の場合に還元するための局在化関手を適用する。
• 有限ダイヘドラルの場合にジョーンズ–ウェンツル射影子と最小の Rouquier 複体を用い、インダクティブに分解不能なティルティング対象を記述する。
• 対称代数と多項式環上の次数付き加群を用いて、有理数からモジュラー設定への最小の Rouquier 複体の持ち上げを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値 0 の場合と同様に、正標数における自由モノドロミックなティルティング層のモノイダル圏を構築できるか？
• RQ2 自由モノドロミックなティルティング複体の畳み込みは交換法則を満たすか？ これによりモノイダル構造が保証されるか？
• RQ3 有理数設定における最小の Rouquier 複体は、どのようにモジュラー設定へと持ち上げられるか？
• RQ4 混合モジュラー導来圏におけるティルティング層の構造において、モノドロミーの役割は何か？
• RQ5 図式的技法と局在化を用いて、カク＝ムーディ旗多様体設定における畳み込みの関手的性を確立できるか？

主な発見

• カク＝ムーディ旗多様体上の自由モノドロミックなティルティング層のカテゴリは、畳み込みを用いてwell-definedなモノイダル構造を備える。
• 自由モノドロミックなティルティング複体の畳み込みは交換法則を満たし、畳み込み関手が適切に定義され、結合的であることを証明する。
• 局在化関手は自由モノドロミックなティルティング複体のカテゴリ上で忠実であり、証明のための還元を有理数の場合に可能にする。
• 最小の Rouquier 複体は有理数からモジュラー設定へと持ち上がり、その畳み込みはモノドロミー作用と整合する。
• 自由モノドロミックなティルティング層のカテゴリは、ティルティング複体のモノイダルカテゴリへのモジュール構造を備えており、双対性枠組みを拡張する。
• 本構成は、[AMRW] で概説された完全なモジュラー Koszul 双対性同値のための重要な要素を提供する。