[論文レビュー] Free paratopological groups

Ali Sayed Elfard|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、位相空間 X 上の自由準位相群 FP(X) および AP(X) を調査し、特に Pα-空間およびアレクサンドロフ空間に注目する。X がアレクサンドロフ空間であるとき、FP(X) がアレクサンドロフ空間であることを確立し、単位元における明示的な近傍基を構成し、FP(X) が T₀ であるための必要十分条件が X が T₀ であることであることを証明する。主な貢献は、FP(X) が位相群となるための条件の同定および、それが帰納的極限性質を満たすための条件の特定にある。

ABSTRACT

Let $\FP(X)$ be the free paratopological group on a topological space $X$ in the sense of Markov. In this paper, we study the group $\FP(X)$ on a $P_α$-space $X$ where $α$ is an infinite cardinal and then we prove that the group $\FP(X)$ is an Alexandroff space if $X$ is an Alexandroff space. Moreover, we introduce a neighborhood base at the identity of the group $\FP(X)$ when the space $X$ is Alexandroff and then we give some properties of this neighborhood base. As applications of these, we prove that the group $\FP(X)$ is $T_0$ if $X$ is $T_0$, we characterize the spaces $X$ for which the group $\FP(X)$ is a topological group and then we give a class of spaces $X$ for which the group $\FP(X)$ has the inductive limit property.

研究の動機と目的

• Pα-空間およびアレクサンドロフ空間上の自由準位相群 FP(X) および AP(X) の構造を研究すること。
• FP(X) が位相群となる条件、すなわち逆元演算が連続となる条件を特定すること。
• FP(X) および AP(X) が帰納的極限性質を満たすための条件を確立すること。
• X がアレクサンドロフ空間であるとき、FP(X) の単位元における近傍基を特徴づけること。
• FP(X) が T₀ であるための必要十分条件が X が T₀ であることであることを証明し、分離公理を自由群構成へと拡張すること。

提案手法

• マークォフの自由準位相群構成を用い、FP(X) を X 上の自由群とし、X の位相を拡張する最も強い準位相群位相として定義する。
• 任意の α 個未満の開集合の共通部分集合が開であるような空間、すなわち Pα-空間の概念を用いて、FP(X) の位相的性質を分析する。
• アレクサンドロフ空間の構造を活用し、任意の開集合の共通部分集合が開であるという性質を利用して、FP(X) の単位元における近傍基を構成する。
• X から有限 T₀ 空間（例：R_n）への連続な準同型を用いて群の元を分離し、FP(X) における T₀ 分離性を証明する。
• 帰納的極限性質を適用するため、X が T₁ P-空間であるとき、FP(X) が長さが n 以下の語からなる部分群 FP_n(X) の帰納的極限であることを示す。
• 先行研究（例：[3], [7], [8]）における自由準位相群および分離公理に関する結果を応用し、新たな特徴づけを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X がどのような条件下にあっても、自由準位相群 FP(X) がアレクサンドロフ空間となるか？
• RQ2 自由準位相群 FP(X) が位相群となるのはいつか、すなわち逆元演算が連続となるのはいつか？
• RQ3 X がアレクサンドロフ空間であるとき、FP(X) の単位元における近傍基は何か？
• RQ4 FP(X) がいつ帰納的極限性質を満たすか？
• RQ5 X の T₀ 性と FP(X) の T₀ 性の関係は何か？

主な発見

• X がアレクサンドロフ空間であれば、FP(X) はアレクサンドロフ空間である。
• X がアレクサンドロフ空間であるとき、X の位相に基づいた、FP(X) の単位元における簡単な近傍基が構成される。
• FP(X) が T₀ であるための必要十分条件が X が T₀ であることであることが示され、X の分離公理とその自由準位相群との間の直接的な関係が確立される。
• FP(X) が位相群であるための必要十分条件は、X が T₀ であり、かつ逆元演算が連続であることを保証する追加の構造的条件を満たすことである。
• X が T₁ P-空間であれば、FP(X) は長さが n 以下の語からなる部分群 FP_n(X) の帰納的極限である。
• 自由アーベル準位相群 AP(X) は同様の性質を有する：X が T₀ であれば AP(X) も T₀ であり、同じ条件下で帰納的極限性質を満たす。