[論文レビュー] From linear combination of quantum states to Grover's searching algorithm

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、係数の大きさや状態のノルムに依存しない、複雑度 O(m^{log(m/ε)}) の新しい量子アルゴリズムを、ユニタリ行列の線形結合（LCU）に対して提示する。これは、m が小さい場合や係数が大きい場合に優れた性能を発揮する。応用として、O((log n)/ε) 時間で古典的実数ベクトルから量子状態を効率的に準備可能となり、特定の状況では入力問題に対して指数的加速を達成する。

ABSTRACT

Linear combination of unitaries (LCU for short) is one of the most important techniques in designing quantum algorithms. In this paper, we propose a new quantum algorithm in three different forms to achieve LCU. Different from previous algorithms [Childs-linear-system,Clader,Long11], the complexity now only depends on the number of the unitaries and the precision. So it will play more important role in the design of quantum algorithms when the number of unitaries is small, such as quantum iteration algorithms. %Since in iteration algorithms, $m$ often refers to the iteration steps, which is small if the iteration algorithms are efficient. Moreover, as an application of the new LCU, three new quantum algorithms to the searching problem will be proposed, which will provide us new insights into Grover's searching algorithm. We also show that the problem of LCU is closely related to the problem of if we can efficiently implement $U^t$ for $0

研究の動機と目的

• 係数の大きさに依存しない、複雑度を低減した新しい量子アルゴリズムを、ユニタリ行列の線形結合（LCU）に対して開発すること。
• 量子計算における入力問題を解決すること—すなわち、古典的実数ベクトル x から |x⟩ を効率的に準備すること。
• 提案された LCU フレームワークを用いて、Grover の探索アルゴリズムに対する幾何的および代数的洞察を提供すること。
• ユニタリ行列の数が少ない場合に、複雑度を低減することで量子反復アルゴリズムの効率的実装を可能にすること。
• LCU とユニタリ演算子の分数乗（例：0 < t < 1 の U^t）との関係を調査すること、特に高精度制約下での実装を検討すること。

提案手法

• 幾何的補間と振幅増幅に基づく、実数量子状態に特化した3つの新しい LCU アルゴリズムを提案する。
• 分解戦略を活用する：目的のベクトル x を2つの補助ベクトル y と z の線形結合として表現する。ここで y は符号付き定数ベクトルであり、z = x + y とする。
• 新規 LCU 技術を用いて、|y⟩ と |z⟩ をコherentに結合する。これらは O(log n) 時間で効率的に準備可能である。
• 新規 LCU 法を適用して、|x⟩ = (‖z‖|z⟩ - ‖y‖|y⟩)/‖x‖ を精度 ε で実現し、複雑度 O((log n)/ε) を達成する。
• 1ノルムから2ノルムへの不等式を用いてノルム比を制限し、最終的な状態準備における誤差を有界に保つ。
• 従来の手法とは異なり、新規 LCU 法は係数 α_j や結果状態のノルムに依存しないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 α_j や結果状態のノルムに依存しない複雑度で、線形結合のユニタリ行列（LCU）問題を解くことは可能か？
• RQ2 新しい LCU 技術を用いて、古典的実数ベクトル x から |x⟩ を効率的に準備するにはどうすればよいか？
• RQ3 提案された LCU フレームワークを用いて、Grover のアルゴリズムに新たな幾何的および代数的解釈を導くことは可能か？
• RQ4 新規 LCU 法は、ユニタリ行列の数が少ない場合に、量子反復アルゴリズムの効率をどの程度向上させるか？
• RQ5 高精度要件下で、新規 LCU 法はユニタリ演算子の分数乗（例：0 < t < 1 の U^t）を効率的に実装できるか？

主な発見

• 新規 LCU アルゴリズムは、m 個のユニタリ行列と精度 ε に対して、複雑度 O(m^{log(m/ε)}) を達成し、係数 α_j や結果状態のノルムに依存しない。
• 実数古典ベクトル x からの量子状態準備において、本アルゴリズムは複雑度 O((log n)/ε) を達成し、条件数 κ(x) が中程度の場合に、従来手法よりも指数的加速を実現する。
• max|x_k| と min|x_k| の差が 2^1000 に達しても、log κ(x) が小さい限り、|x⟩ の効率的準備が可能である。
• 分解 |x⟩ = (‖z‖|z⟩ - ‖y‖|y⟩)/‖x‖ を用いることで、|y⟩ と |z⟩ の2つの容易に準備可能な状態を用いて効率的な状態準備が可能となり、|y⟩ は定数ノルムの符号付きベクトルである。
• ユニタリ行列の数が少ない場合や係数が非常に大きい場合に、従来の LCU 技術よりも本手法が優れているため、量子反復アルゴリズムに最適である。
• 本手法により、Grover のアルゴリズムに対して3つの新しい幾何的解釈が得られ、量子状態の線形結合と振幅増幅に、より直接的な関連性が明確になった。