[論文レビュー] From local Torelli to global Torelli

Kefeng Liu, Yang Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、極小多様体のための強化局所トーリーとT-クラスの概念を導入し、強化局所トーリーがT-クラスに属する多様体のトーリー空間上でグローバルトーリー定理を示すことを証明している。周期写像をテイヒミュラー空間へと上げ、レベル構造を用いることで、周期写像のグローバルな単射性を確立し、トーリー空間が複素数空間内の有界強擬凸領域にbiholomorphicに埋め込まれることを示している。これは、レベル構造付きのモジュライ空間への応用を伴う。

ABSTRACT

We introduce the notions of strong local Torelli and T-class for polarized manifolds, and prove that strong local Torelli implies global Torelli theorem on the Torelli spaces for polarized manifolds in the T-class. We discuss many new examples of projective manifolds for which such global Torelli theorem holds. As applications we prove that, in these cases, a canonical completion of the Torelli space is a bounded pseudoconvex domain in complex Euclidean space, and show that generic Torelli implies global Torelli on moduli space with certain level structure.

研究の動機と目的

• 孤立した場合を超えたグローバルトーリー定理を証明するための体系的枠組みを確立すること。
• モジュライ空間の普遍被覆（テイヒミュラー空間）への周期写像の上昇によって、グローバルトーリーを証明する際の困難を解決すること。
• グローバルトーリー定理が成り立つ極小多様体のT-クラスを定義し、特徴づけること。
• T-クラスに属する多様体のトーリー空間が、複素数ユークリッド空間内の有界強擬凸領域であることを示すこと。
• m ≥ 3 のレベルm構造付きモジュライ空間においてグローバルトーリー定理が成り立つことを証明すること。

提案手法

• グローバルトーリー定理がトーリー空間上で成り立つための十分条件として、強化局所トーリーの概念を導入すること。
• T-クラスを、m ≥ 3 に対して滑らかなモジュライ空間を備えた極小多様体として定義すること。
• レベル構造付きモジュライ空間の普遍被覆としてテイヒミュラー空間を構成すること。
• モジュライ空間からテイヒミュラー空間への周期写像の上昇を行い、強化局所トーリーのもとで単射性を保証すること。
• モノドロミー表現と基本群の同型を用いて、レベル構造付きモジュライ空間上の周期写像がその像へとbiholomorphicであることを証明すること。
• ホッジ理論と複素幾何の結果を応用し、周期写像の像が有界強擬凸領域であることを特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強化局所トーリーが、どの条件下で極小多様体のグローバルトーリー定理を示すか？
• RQ2 どのクラスの極小多様体がT-クラスに属し、なぜこのクラスがトーリー型定理において重要なのか？
• RQ3 レベル構造とテイヒミュラー空間の使用が、グローバルトーリーを証明する際の障害をどのように克服するか？
• RQ4 T-クラスに属する多様体のトーリー空間がどのような幾何的構造を備え、有界対称領域とどのように関係するか？
• RQ5 レベルm構造付きモジュライ空間においてグローバルトーリー定理を確立できるか？そしてこれは周期写像にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 強化局所トーリーは、T-クラスに属する多様体のトーリー空間上でグローバルトーリー定理を示す。
• T-クラスに属する極小多様体のトーリー空間は、複素数ユークリッド空間内の有界強擬凸領域である。
• 強化局所トーリーが成り立つとき、レベルm構造付きモジュライ空間からの周期写像は、その像へとbiholomorphicである。
• レベル構造付きモジュライ空間の基本群は、モノドロミー群Γに同型である。
• テイヒミュラー空間への上昇された周期写像は単射であり、周期領域D内の領域である。
• m ≥ 3 のレベルm構造付きモジュライ空間においてグローバルトーリー定理が成り立ち、その結果がより広い代数的多様体のクラスへと拡張される。