[論文レビュー] From microscopic theory to macroscopic theory: dynamics of the rod-like liquid crystal molecules

Wei Wang, Pingwen Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ドイ・オンサイト理論を出発点として、ボーリング閉じ込めを用い、小スケールのデューバー数極限をとることで、棒状液晶の微視的運動論からエリクセン＝レジー方程式を体系的なマルチスケール手法により導出する。主な貢献は、分子パラメータを用いてレジー係数および弾性定数を厳密に導出することにより、微視的動的挙動と巨視的ネマチック液晶挙動を、分子の配向パラメータおよび相互作用カーネルの明示的依存性を介して結びつけることである。

ABSTRACT

Starting from Doi-Onsager equation for the liquid crystal, we first derive the Q-tensor equation by the Bingham closure. Then we derive the Ericksen-Leslie equation from the Q-tensor equation by taking the small Deborah number limit.

研究の動機と目的

• 棒状液晶の微視的運動論と巨視的流体力学モデルの間のギャップを埋めること。
• ボーリング閉じ込め近似を用いて、ドイ・オンサイト方程式からQテンソル方程式を導出すること。
• Qテンソルモデルの小デューバー数極限において、エリクセン＝レジー方程式を厳密に導出すること。
• レジー弾性係数およびフランク定数を、$J_i$, $S_2$, $S_4$ などの分子パラメータの関数として表現すること。
• 巨視的モデルに翻訳拡散および回転緩和効果を組み込み、先行のQテンソルモデルと区別すること。

提案手法

• 分布関数のモーメント閉じ込めを適用することで、次元なしのドイ・オンサイト方程式からQテンソル方程式を導出する。
• 長距離作用をモデル化するため、長距離マイエル＝ゾープ相互作用カーネル $B_\varepsilon$ を持つ自由エネルギー関数 $A_\varepsilon[f]$ を導入する。
• 化学ポテンシャル $\mu_\varepsilon = \delta A_\varepsilon / \delta f$ を定義し、これを用いてモーメント閉じ込めによりQテンソルの時間発展方程式を導出する。
• Qテンソル方程式に小デューバー数極限（$De \to 0$）を適用し、明示的なレジー係数および弾性係数を有するエリクセン＝レジー系を導出する。
• Qテンソルダイナミクスから散乱応力テンソル $\sigma^{\text{dis}}$ および活性応力 $\sigma^a$ を導出し、回転および翻訳拡散の寄与を含む。
• Oseen-Frank弾性定数 $K_1, K_2, K_3$ を、分子パラメータ $J_1, \dots, J_5$, $S_2$, $S_4$ を用いた明示的公式により表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてモーメント閉じ込めを用いて、ドイ・オンサイト運動論方程式からQテンソルモデルを体系的に導出できるか？
• RQ2 ボーリング閉じ込めは、分布関数とテンソル的秩序パラメータを結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 小デューバー数極限は、Qテンソルダイナミクスをどのようにエリクセン＝レジー流体力学モデルに変換するか？
• RQ4 分子相互作用パラメータと巨視的レジー弾性定数との間の明示的関係は何か？
• RQ5 Qテンソルモデルにおける翻訳拡散項と回転拡散項は、ベルイス＝エドワーズおよびQian-Shengモデルとどのように異なるか？

主な発見

• ボーリング閉じ込めを用いて、ドイ・オンサイト方程式からQテンソル方程式が導出され、そのダイナミクスは化学ポテンシャル $\mu_Q = \delta E / \delta Q$ が支配する。
• 小デューバー数極限により、エリクセン＝レジー系が得られ、レジー係数および $\gamma_1, \gamma_2$ が保存され、エリクセンエネルギーはOseen-Frankエネルギーに置き換えられる。
• 弾性定数 $K_1, K_2, K_3$ は分子パラメータを用いて明示的に表現され、$K_1 = 2S_2^2(J_1 + J_3) + S_4^2(\frac{16}{7}J_2 + \frac{92}{49}J_4) - \frac{6}{7}J_5 S_2 S_4$ および $K_2, K_3$ についても同様の式が成り立つ。
• Beris-EdwardsおよびQian-Shengモデルに欠けている、非局所的分子拡散を記述する翻訳拡散項 $\frac{\varepsilon}{De} \mathcal{N}(\mu_Q)$ がモデルに組み込まれている。
• 回転拡散項 $\frac{2}{De}(\mathcal{M}_Q + \mathcal{M}_Q^T)(\mu_Q)$ は、ドイの運動論理論から導出され、微視的ダイナミクスと整合的である。
• 散乱応力 $\sigma^{\text{dis}}$ および活性応力 $\sigma^a$ はエネルギー関数から一貫して導出され、$\sigma^a = Q \cdot \mu_Q - \mu_Q \cdot Q$ となる。