[論文レビュー] From $S^1$-fixed points to $\mathcal{W}$-algebra representations

Laura Fredrickson, Andrew Neitzke|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^\times$-固定点と$\mathcal{W}_K$-代数の特定の表現との間の1対1対応を確立する。Higgs場の正則化された$L^2$ノルム$\mu$を導入し、$\mu = \frac{1}{12}(K-1 - c_{\text{eff}})$を示す。ここで$c_{\text{eff}}$は対応する$\mathcal{W}$-表現の有効中心電荷である。この結果により、幾何的不変量と conformal field theory のデータが結びつけられる。

ABSTRACT

We study a set $\mathcal{M}_{K,N}$ parameterizing filtered $SL(K)$-Higgs bundles over $\mathbb{CP}^1$ with an irregular singularity at $z = \infty$, such that the eigenvalues of the Higgs field grow like $\lvert λ vert \sim \lvert z ^{N/K} \mathrm{d} z vert$, where $K$ and $N$ are coprime. $\mathcal{M}_{K,N}$ carries a $\mathbb{C}^ imes$-action analogous to the famous $\mathbb{C}^ imes$-action introduced by Hitchin on the moduli spaces of Higgs bundles over compact curves. The construction of this $\mathbb{C}^ imes$-action on $\mathcal{M}_{K,N}$ involves the rotation automorphism of the base $\mathbb{CP}^1$. We classify the fixed points of this $\mathbb{C}^ imes$-action, and exhibit a curious $1$-$1$ correspondence between these fixed points and certain representations of the vertex algebra $\mathcal{W}_K$; in particular we have the relation $μ= \frac{1}{12} \left(K - 1 - c_{\mathrm{eff}} ight)$, where $μ$ is a regulated version of the $L^2$ norm of the Higgs field, and $c_{\mathrm{eff}}$ is the effective Virasoro central charge of the corresponding $W$-algebra representation. We also discuss a Bialynicki-Birula-type stratification of $\mathcal{M}_{K,N}$, where the strata are labeled by isomorphism classes of the underlying filtered vector bundles.

研究の動機と目的

• 複素射影直線上の$SL(K)$-Higgs束のモジュライ空間$\mathcal{M}_{K,N}$における$\mathbb{C}^\times$-固定点を分類すること。
• これらの固定点におけるHiggs場の正則化$L^2$ノルム$\mu$を定義し、計算すること。
• これらの固定点と$\mathcal{W}_K$-頂点代数の表現との間の1対1対応を確立すること。
• 正則化ノルム$\mu$が公式$\mu = \frac{1}{12}(K-1 - c_{\text{eff}})$に従うことを確認すること。
• モジュライ空間$\mathcal{M}_{K,N}$のBialynicki-Birula層構造と、それに付随するフィルトレートされたベクトル束構造との関係を分析すること。

提案手法

• 基底$\mathbb{CP}^1$の回転自己同型を介して$\mathcal{M}_{K,N}$に$\mathbb{C}^\times$-作用を導入する。
• 良いフィルトレートHiggs束の構造と$K$と$N$の互いに素な条件を用いて、この$\mathbb{C}^\times$-作用の固定点を分類する。
• 調和計量と無限遠における漸近的挙動を用いて、Higgs場の正則化$L^2$ノルム$\mu$を定義する。
• 中心電荷公式$\mu = \frac{1}{12}(K-1 - c_{\text{eff}})$を介して、固定点と$\mathcal{W}_K$-表現との間の対応を構成する。
• 特に$K=2, N=3$の場合に注目し、Hitchinファイブレーションの構造とコンパクト化をゲージ変換を用いて分析する。
• ゲージ変換を用いてHiggs束の族をHitchinベースの無限遠まで拡張し、中心ファイバーが$\mu = \frac{1}{20}$をとる固定点をもつ尖点を持つ射影的3次曲線であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのように$\mathbb{C}^\times$-固定点が$\mathcal{M}_{K,N}$に分類され、どのような構造を持つのか？
• RQ2 これらの固定点におけるHiggs場の正則化$L^2$ノルム$\mu$の幾何的意味は何か？
• RQ3 固定点と$\mathcal{W}_K$-頂点代数の表現との間には明確な1対1対応があるのか？
• RQ4 公式$\mu = \frac{1}{12}(K-1 - c_{\text{eff}})$は成り立ち、conformal field theory の最小模型とどのように関係するのか？
• RQ5 モジュライ空間$\mathcal{M}_{K,N}$のBialynicki-Birula層構造は、基礎となるフィルトレートされたベクトル束の同型類をどのように反映しているのか？

主な発見

• $\mathbb{C}^\times$-固定点は、中心電荷公式を介して、特定の$\mathcal{W}_K$-代数表現と1対1に対応している。
• $K=2, N=3$の場合、2つの固定点はそれぞれ$(2,5)$Virasoro最小模型に対応し、$c_{\text{eff}} = -\frac{22}{5}$および$\frac{2}{5}$をとり、$\mu = \frac{9}{20}$および$\frac{1}{20}$に対応する。
• 正則化$L^2$ノルム$\mu$は$\mu = \frac{1}{12}(K-1 - c_{\text{eff}})$により計算され、$K=2, N=3$の場合に明示的に検証されている。
• $\mathcal{M}_{2,3}$におけるHitchinファイブレーションの各ファイバー$\pi^{-1}(u)$は射影的3次曲線であり、中心ファイバー$u=0$は両方の固定点を含む尖点を持つ。
• ファイバーにおける無限遠点は$\mu = \frac{1}{20}$をとる固定点に対応し、中心ファイバーの尖点である。
• $\mu$が$\mathcal{M}_{2,3}$上の$U(1)$-作用のモーメントマップに拡張されるとの予想が支持されており、最大値$\mu = \frac{9}{20}$が$\mathcal{M}^{\text{small}}_{2,3}$層で達成されている。