[論文レビュー] From the quantum geometry of Fuchsian systems to conformal blocks of W-algebras

Raphaël Belliard, Bertrand Eynard|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上の正則接続をもつフクシアン系に対して、theta級数によるtau関数を定義する量子スペクトル曲線の構成を紹介する。その係数は特別な幾何を満たす。量子形式-サイクル双対性とリーマンの二重線形恒等式を確立し、等モノドロミー変形を conformal field theory の振幅および W-制約と結びつける。弱結合極限における W代数およびトポロジカル弦理論への応用が得られる。

ABSTRACT

We consider the moduli space of holomorphic principal bundles for reductive Lie groups over Riemann surfaces (possibly with boundaries) and equipped with meromorphic connections. We associate to this space a point-wise notion of quantum spectral curve whose generalized periods define a new set of moduli. We define homology cycles and differential forms of the quantum spectral curve, allowing to derive quantum analogs of the form-cycle duality and Riemann bilinear identities of classical geometry. A tau-function is introduced for this system in the form of a theta-series and in such a way that the variations of its coefficients with respect to moduli, isomonodromic or not, can be computed as quantum period integrals. This lays new grounds to relate our study to that of integrable hierarchies, isomonodromic deformation of meromorphic connections and non-perturbative topological string theory. In turn, we define amplitudes on the quantum spectral curve which have an interpretation in conformal field theory when the Lie algebra is assumed to be simply-laced: they coincide with correlation functions involving twisted chiral fields of an affine Lie algebra at level one. The singularities at the punctures are interpreted as primary fields of the associated Casimir W-algebra. The amplitudes are moreover related by W-constraints, so-called loop equations, allowing one to compute recursively a certain asymptotic expansion of the tau-function, namely the one corresponding both to the heavy-charge regime of conformal field theory and to the weak-coupling regime of topological string theory.

研究の動機と目的

• リーマン面上の正則G束上の有理型接続に対して、量子スペクトル曲線およびその一般化された周期を定義すること。
• 古典的幾何的双対性および二重線形恒等式の量子版を確立すること、特に形式-サイクル双対性およびリーマンの二重線形恒等式を含む。
• 等モノドロミー変形および非等モノドロミー変形下でのモジュライの変動を符号化する係数を持つtheta級数としてtau関数を構成すること。
• この系を conformal field theory の振幅および W-制約と結びつけること、特に W代数およびトポロジカル弦理論の文脈において。
• ループ方程式を用いて、重荷重および弱結合領域におけるtau関数の漸近展開を計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 正則G束の随伴束に有理型接続を導入し、平坦な切断およびモノドロミー情報により定義される量子スペクトル曲線を構成する。
• 量子スペクトル曲線上にホモロジー的サイクルおよび微分形式を導入し、量子周期積分および交差理論を定義する。
• 量子リウヴィル形式およびユニバーサルサイクルを定義し、古典的ポincare双対性およびリーマンの二重線形恒等式を量子的設定に一般化する。
• 係数がモジュライ空間上のハイパーカイラー構造に関連する特別な幾何関係を満たすtheta級数としてtau関数を定義する。
• 等モノドロミー変形は、モジュライ空間の接空間上の剛体フレームおよび第3種のサイクルを用いて分析され、変動は量子周期積分により計算される。
• 高次振幅はW制約（ループ方程式）を用いて再帰的に計算され、この系が conformal field theory およびトポロジカル弦理論と結びつく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つリーマン面上の正則G束上の有理型接続に対して、どのようにして量子スペクトル曲線を定義できるか？
• RQ2 この設定において、形式-サイクル双対性やリーマンの二重線形恒等式といった古典的幾何的恒等式の量子版はどのように導出可能か？
• RQ3 等モノドロミー変形および非等モノドロミー変形下でのモジュライの変動を符号化する係数を持つtheta級数として、どのようにしてtau関数を構成できるか？
• RQ4 単純根系をもつリー代数の場合は、量子スペクトル曲線上の振幅がW代数の conformal block とどのように関係するか？
• RQ5 ループ方程式（W制約）は、弱結合領域および重荷重領域におけるtau関数の漸近展開を再帰的に計算するためにどのように機能するか？

主な発見

• 本稿は、一般化された周期が新たなモジュライ空間を定義する量子スペクトル曲線を構成し、量子周期積分が変形下でのtau関数係数の変動を捉えている。
• 量子形式-サイクル双対性およびリーマンの二重線形恒等式が確立され、量子曲線上の交差理論を介して、古典的恒等式が量子的設定に一般化されている。
• tau関数は、モジュライ空間上のハイパーカイラー構造に関連する特別な幾何関係を満たす係数を持つtheta級数として定義され、この系がその構造と結びついている。
• 単純根系をもつリー代数の場合、量子スペクトル曲線上の振幅はW代数の conformal block に対応することが示された。
• ループ方程式（W制約）により、tau関数の漸近展開が再帰的に計算可能であり、これはトポロジカル弦理論の弱結合領域および conformal field theory の重荷重領域と一致する。
• この枠組みにより、等モノドロミー変形、可積分階層、非摂動的トポロジカル弦振幅が、量子スペクトル曲線およびその関連するtau関数を通じて統一的に記述される。