[論文レビュー] From Vlasov-Maxwell-Boltzmann system to two-fluid incompressible Navier-Stokes-Fourier-Maxwell system with Ohm's law: convergence for classical solutions

Ning Jiang, Yi-Long Luo|arXiv (Cornell University)|May 12, 2019

Gas Dynamics and Kinetic TheoryMathematics参考文献 63被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、Knudsen数が小さい極限において、2種類の粒子を有するVlasov-Maxwell-Boltzmann (VMB) 系の古典的解が、2流体不圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Maxwell (NSFM) 系にOhmの法則を含むものへ収束することを厳密に確立する。非線形エネルギー法を用いて、VMB系における摂動の均一なエネルギー評価を証明し、古典的解の枠組みで、運動論的記述から流体的記述への流体力学的極限を正当化する。これは、先行する正規化解に関する結果を古典的解の枠組みへ拡張するものである。

ABSTRACT

For the two-species Vlasov-Maxwell-Boltzmann (VMB) system with the scaling under which the moments of the fluctuations to the global Maxwellians formally converge to the two-fluid incompressible Navier-Stokes-Fourier-Maxwell (NSFM) system with Ohm's law, we prove the uniform estimates with respect to Knudsen number $\eps$ for the fluctuations. As consequences, the existence of the global in time classical solutions of VMB with all $\eps \in (0,1]$ is established. Furthermore, the convergence of the fluctuations of the solutions of VMB to the classical solutions of NSFM with Ohm's law is rigorously justified. This limit was justified in the recent breakthrough of Ars\'enio and Saint-Raymond \cite{Arsenio-SRM-2016} from renormalized solutions of VMB to dissipative solutions of incompressible viscous electro-magneto-hydrodynamics under the corresponding scaling. In this sense, our result gives a classical solution analogue of the corresponding limit in \cite{Arsenio-SRM-2016}.

研究の動機と目的

• Knudsen数 ε ∈ (0,1] のすべての値に対して、2種類の粒子を有するVlasov-Maxwell-Boltzmann (VMB) 系の時間全域で定義された古典的解の存在を確立すること。
• VMB解の摂動成分に対する Knudsen数 ε に依存しない均一なエネルギー評価を証明すること。
• 古典的解の枠組みで、VMB系から2流体不圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Maxwell系にOhmの法則を含むものへの流体力学的極限を正当化すること。
• ArsénioとSaint-Raymondが以前に確立した正規化解の極限に対する古典的解の類似を提供すること。

提案手法

• VMB系の摂動成分に対する均一なエネルギー評価を導出する非線形エネルギー法を用いる。
• 射影作用素 P と P⊥ を用いて、分布関数を流体的成分と運動論的（非流体的）成分に分解する。
• 微分の順序に関する帰納法を用いてエネルギー評価の階層を確立し、流体的および運動論的成分の両方を制御する。
• 硬い球体衝突核を用い、両粒子種に対して質量と電荷の絶対値が等しいものと仮定することで、一般性を失わず解析を簡略化する。
• εに依存する特異性を制御するため、時間積分された散逸項を含む修正されたエネルギー関数を導出する。
• Youngの不等式とGronwall型の議論を用いて、エネルギー評価を閉じ、εに関する一様有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Knudsen数 ε ∈ (0,1] に対して、2種類の粒子を有するVlasov-Maxwell-Boltzmann系の時間全域で定義された古典的解を、εに一様に構成可能か？
• RQ2 ε → 0 の極限において、VMB解の摂動は、Ohmの法則を含む2流体不圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Maxwell系の古典的解に収束するか？
• RQ3 VMB系に対して、εに依存しない一様なエネルギー評価をどのように確立できるか？ その評価が古典的解の収束を保証する。
• RQ4 非線形エネルギー法は、Knudsen数が小さい極限における運動論的および流体的ダイナミクスの結合をどのように扱うか？
• RQ5 収束結果は、ArsénioとSaint-Raymondが以前に確立した正規化解の結果を拡張して、古典的解の枠組みで確立可能か？

主な発見

• 著者らは、初期摂動の小さな仮定の下で、2種類の粒子を有するVMB系に対して、すべての ε ∈ (0,1] に対して時間全域で定義された古典的解の存在を確立する。
• VMB解の摂動成分に対する Knudsen数 ε に依存しない一様なエネルギー評価が証明された。
• ε → 0 の極限において、VMB解の摂動は、Ohmの法則を含む2流体不圧縮性NSFM系の古典的解に強く収束する。
• 収束は古典的解の枠組みで正当化され、ArsénioとSaint-Raymondが確立した正規化解の極限に対する厳密な類似が得られた。
• 微分の順序に関する帰納法を用いてエネルギー評価を閉じ、εに依存する散逸項はGronwall型不等式を用いてきめ細かく制御された。
• 修正されたエネルギー関数には、時間積分された散逸項が含まれており、ε → 0 に対しても一様な制御が保証され、流体力学的極限の実現が可能になった。