[論文レビュー] Fully-Functional Static and Dynamic Succinct Trees

Gonzalo Navarro, Kunihiko Sadakane|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 43被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、近似的に最適な空間（2n + o(n)ビット）を用いて、完全に機能する静的および動的効率的順序木を実現する、新しい範囲最小-最大木データ構造を提示する。複雑な木操作を小さな部分木における定数時間の基本的操作に還元することで、大多数の動的操作において最適なO(log n / log log n)時間の性能を達成し、先行研究に比べて顕著に冗長性を低減する。応用分野には圧縮列、BWT構築、動的ランク/セレクトクエリが含まれる。

ABSTRACT

We propose new succinct representations of ordinal trees, which have been studied extensively. It is known that any $n$-node static tree can be represented in $2n + o(n)$ bits and a number of operations on the tree can be supported in constant time under the word-RAM model. However the data structures are complicated and difficult to dynamize. We propose a simple and flexible data structure, called the range min-max tree, that reduces the large number of relevant tree operations considered in the literature to a few primitives that are carried out in constant time on sufficiently small trees. The result is extended to trees of arbitrary size, achieving $2n + O(n /\polylog(n))$ bits of space. The redundancy is significantly lower than any previous proposal. Our data structure builds on the range min-max tree to achieve $2n+O(n/\log n)$ bits of space and $O(\log n)$ time for all the operations. We also propose an improved data structure using $2n+O(n\log\log n/\log n)$ bits and improving the time to the optimal $O(\log n/\log \log n)$ for most operations. Furthermore, we support sophisticated operations that allow attaching and detaching whole subtrees, in time $\Order(\log^{1+ε} n / \log\log n)$. Our techniques are of independent interest. One allows representing dynamic bitmaps and sequences supporting rank/select and indels, within zero-order entropy bounds and optimal time $O(\log n / \log\log n)$ for all operations on bitmaps and polylog-sized alphabets, and $O(\log n \log σ/ (\log\log n)^2)$ on larger alphabet sizes $σ$. This improves upon the best existing bounds for entropy-bounded storage of dynamic sequences, compressed full-text self-indexes, and compressed-space construction of the Burrows-Wheeler transform.

研究の動機と目的

• 挿入・削除を含む完全な操作セットをサポートする、効率的で柔軟かつ空間効率の良い動的木データ構造の不足を解消すること。
• 既存の効率的木表現における空間冗長性を低減すること。特に、O(n log log n / √log n)のような大きな下位項を含む表現を改善すること。
• 動的木操作において最適なO(log n / log log n)時間計算量を達成すること。これは、基本的動作においてタイトな境界であることが知られている。
• 部分木の接続・分離などの複雑な操作や、ゼロ次エントロピーの範囲内で動的列表現をサポートする枠組みを拡張すること。
• 圧縮テキストインデキシング、バーラウス＝ウェイラー変換（BWT）の構築、動的圧縮列の分野における既存の境界を向上させる包括的かつ統一的な手法を提供すること。

提案手法

• 小部分木（サイズO(polylog n)）における定数時間操作をサポートする核心データ構造として、範囲最小-最大木を導入する。
• 範囲最小-最大木を基盤として、再帰的に大きな木を処理し、小部分木の基本的操作を介して全木における定数時間操作を実現する。
• 順序木のバランスドパラセントリックス（BP）表現に範囲最小-最大木を適用し、深さ、findopen、findclose、encloseなどの操作を効率的にサポートする。
• 動的範囲最小-最大木を維持することで、静的構造を動的木に拡張し、挿入・削除をO(log n)時間で実行可能にし、最適化されたバージョンではO(log n / log log n)時間まで高速化する。
• この枠組みを活用して、動的配列の和／探索、動的圧縮列、圧縮BWT構築といった関連問題を、エントロピーの境界内に収める。
• ランク／セレクトのバランスドシーケンスにおける下界を用いて空間最適性を証明し、特定の操作において冗長性2n + o(n)が最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 効率的順序木のためのデータ構造は、空間冗長性を著しく低減させつつ、すべての基本的動作（例：子、祖先、部分木サイズ）を定数時間でサポートできるか？
• RQ2 挿入・削減・ナビゲーションを近似的に最適な時間でサポートする、空間効率の良い動的効率的木構造を設計することは可能か？
• RQ3 範囲最小-最大木の抽象化は、静的および動的環境における複雑な木操作の実装を統一的かつ簡素化できるか？
• RQ4 O(log n / log log n)時間で動的木操作をサポートするための最小冗長性は何か？ また、実用的で合成可能なデータ構造でこれを達成できるか？
• RQ5 効率的木表現を活用することで、動的列、圧縮テキストインデックス、BWT構築といった圧縮データ構造をどのように改善できるか？

主な発見

• 静的範囲最小-最大木は、2n + O(n / polylog(n))ビットの空間を達成し、すべての標準的木操作を定数時間でサポートする。これは、先行研究に比べて顕著に冗長性が低減されている。
• 動的木では、すべての操作をO(log n)時間で実行可能であり、2n + O(n / log n)ビットの空間を用いる。最適化されたバージョンでは、2n + O(n log log n / log n)ビットを用いてO(log n / log log n)時間まで高速化される。
• 任意のε > 0に対して、O(log^{1+ε} n)時間で部分木の接続・分離が可能であり、柔軟な動的木操作を実現する。
• この枠組みにより、動的配列の和／探索、およびゼロ次エントロピー境界内での動的圧縮列に対して、最適なO(log n / log log n)時間の性能が達成される。
• バーラウス＝ウェイラー変換（BWT）の構築時間複雑度がo(n log² n)時間まで改善され、圧縮空間内に収まる。これは従来の方法を上回る性能を示す。
• 本稿では、バランスドパラセントリックスシーケンスにおける特定の操作（例：ランク／セレクト）において、冗長性2n + o(n)が最適であることを確立し、提案された構造の空間効率性を裏付ける。