[論文レビュー] Functional equations for quantum theta functions

Yu. I. Manin|ArXiv.org|Jul 31, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、リエフエルのスカラー積が量子トーラス上の射影的モジュールにおけるシータベクトルの間で定義され、それらが量子シータ関数を生じることを示すことにより、古典的シータ関数の関数方程式の量子版を確立する。これらの量子シータ関数は、量子化形式への特殊直交群の作用に関して関数方程式を満たし、量子トーラスのモリタ同値を介して古典的モジュラー変換を一般化する。

ABSTRACT

Quantum theta functions were introduced by the author in [Ma1]. They are certain elements in the function rings of quantum tori. By definition, they satisfy a version of the classical functional equations involving shifts by the multiplicative periods. This paper shows that for a certain subclass of period lattices (compatible with the quantization form), quantum thetas satisfy an analog of another classical functional equation related to an action of the metaplectic group upon the (half of) the period matrix. In the quantum case, this is replaced by the action of the special orthogonal group on the quantization form, which provides Morita equivalent tori. The argument uses Rieffel's approach to the construction of (strong) Morita equivalence bimodules and the associativity of Rieffel's scalar products.

研究の動機と目的

• 古典的関数方程式 (0.4) の量子版を確立すること。メタプレクティック群作用を、量子化形式への特殊直交群の作用に置き換える。
• ユニタリ量子トーラスの C^*-代数上の射影的モジュールにおける量子シータ関数とシータベクトルの関係を明確化すること。
• リエフエルのシータベクトルのスカラー積が量子シータ関数を生じることを示し、表現論的構成と非可換幾何学の橋渡しをすること。
• ヘイゼンベルク群への格子埋め込みを通じて、シータベクトルのスカラー積として得られる量子シータ関数のクラスを特徴づけること。
• 量子トーラスの強いモリタ同値を用いて、古典的モジュラー変換を非可換設定に拡張すること。

提案手法

• リエフエルの枠組みを用い、ベクトルヘイゼンベルク群への格子埋め込みを通じて、量子トーラス間の強いモリタ同値バイモジュールを構成する。
• リエフエルのスカラー積構成を、ユニタリ量子トーラスの C^{\infty}-環上の射影的モジュールにおけるシータベクトルに適用する。
• リエフエルのスカラー積の結合性を用いて、モリタ同値な量子トーラスにおける量子シータ関数間の関数方程式を導出する。
• 格子 D に値をとる乗数系 \alpha(g,h) を導入し、c_h と \psi_0 を含むコycle条件により反対称性を保証する。
• 量子シータ関数を、格子元 h \in D における和として構成し、ヘルミート形式 H と特性 \/overline{c}_h \overline{l}_h(a) の指数関数的重みを付ける。
• D_0（F \times \widehat{F} への射影の核）の作用を用いて、乗数系に関してスカラー積の不変性を検証し、それが量子トーラス代数における量子シータ関数の空間に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的関数方程式 (0.4) は、どのように量子設定に一般化できるか？
• RQ2 量子シータ関数と量子トーラス上の射影的モジュールにおけるシータベクトルとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 リエフエルのシータベクトルのスカラー積が量子シータ関数を生じることを示せるか？また、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 量子化形式への特殊直交群の作用は、関数方程式の文脈で、量子トーラスのモリタ同値とどのように関係するか？
• RQ5 すべての量子シータ関数は、定曲率のヘルミート接続を持つトーリック射影的モジュールにおけるシータベクトルのスカラー積として得られるか？

主な発見

• スカラー積 { }_{D}\langle f_{T,a}, f_{T,b} \rangle は、C_g と x_g によって定義される乗数系 \mathcal{L} の下で、空間 \Gamma(\mathcal{L}) に属する量子シータ関数である。
• これらのスカラー積は \Gamma(\mathcal{L}) の基底をなしており、次元は [D:D_0] = (\text{card } F)^2 であり、有限群 F \times \widehat{F} における独立関数の数と一致する。
• スカラー積は D_0 の作用に関して不変であることが、等式 C_g e_{D,\alpha}(g) x_g^*(\Theta_{a,b}) = \Theta_{a,b} によって示され、量子トーラス代数における定義の正当性が確認される。
• 関数方程式は、モリタ同値バイモジュールを通じて実現され、2つのモリタ同値な量子トーラスにおける量子シータ関数は、適切な真空ベクトルを適用することで一致する。
• 量子化形式への SO(n,n;\mathbb{Z}) の作用を通じて、古典的シータ関数変換 (0.4) が非可換設定に一般化される。
• マニンとリエフエルの先行研究を拡張し、量子シータ関数が、ヘイゼンベルクモジュールの文脈で、自然にリエフエルのシータベクトルのスカラー積として生じることを示した。