[論文レビュー] Functional properties of Generalized Hörmander spaces of distributions I : Duality theory, completions and bornologifications

Yoann Dabrowski|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、nested cones $\gamma \subset \Lambda \subset \overline{\gamma}$ 内で分布の波フロント集合（DWF）と標準的波フロント集合（WF）の両方を制御することにより、一般化されたHörmander空間 $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ および $\mathcal{E}'_{\gamma,\Lambda}$ を導入する。これらの空間に対して双対性、完備化、Bornologificationの性質を確立し、核型かつ超Bornologicaであることを示し、Mackey位相と滑らかな写像による引き戻し写像に関する主要な結果を得る。これらは、曲がった時空における量子場理論にとって不可欠である。

ABSTRACT

The space $D'_Λ$ of distributions having their $C^\infty$ wavefront set in a cone $Λ$ has become important in physics because of its role in the formulation of quantum field theory in curved spacetime. It is also a basic object in microlocal analysis, but not well studied from a functional analytic viewpoint. In order to compute its completion in the open cone case, we introduce generalized spaces $D'_{γ,Λ}$ where we also control the union of H^s-wave front sets in a second cone $γ$ contained in $Λ$. We can compute bornological and topological duals, completions and bornologifications of natural topologies for spaces in this class. All our topologies are nuclear, ultrabornological when bornological and we can describe when they are quasi-LB. We also give concrete microlocal representations of bounded and equicontinuous sets in those spaces and work with general support conditions including future compact or space compact support conditions on globally hyperbolic manifolds, as motivated by physics applications to be developed in a second paper.

研究の動機と目的

• 曲がった時空における量子場理論の主要な空間 $\mathcal{E}'_{\Lambda}$ における完備性および関数解析的構造の欠如を解決すること。
• nested cones $\gamma \subset \Lambda \subset \overline{\gamma}$ に対して、$DWF(u) \subset \gamma$ および $WF(u) \subset \Lambda$ を満たす一般化された分布空間 $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ と $\mathcal{E}'_{\gamma,\Lambda}$ を定義すること。
• これらの空間における自然な位相のBornologica双対、位相的双対、完備化、Bornologificationを計算すること。
• 物理学者の文献におけるギャップを解消するため、$\mathcal{E}'_{\Lambda}$ の完備化を明示的な関数解析的特徴づけとして $\widehat{\mathcal{E}'_{\Lambda}} = \{ u \in \mathcal{E}' : DWF(u) \subset \Lambda \}$ と与えること。
• 滑らかな写像による引き戻し写像が、特にグローバルに双曲的多様体上での場理論への応用にとって不可欠な波フロント集合の伝播を保つこと。

提案手法

• 標準的波フロント集合の一般化として、正則性を $L^2$-に基づく定義を超えて制御可能な、二重波フロント集合 $DWF(u) = \bigcup_{s>0} WF_s(u)$ を導入する。
• 一般化された空間 $\mathcal{E}'_{\gamma,\Lambda}(U) = \{ u \in \mathcal{E}'(U) : DWF(u) \subset \gamma, \, WF(u) \subset \Lambda \}$ および $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}(U)$ を、グローバルに双曲的多様体上での台の条件を伴って定義する。
• 核型および完備性を保証するため、Mackey位相 $\mathcal{I}$ および帰納的極限位相 $\mathcal{I}_{iii}$, $\mathcal{I}_{ppp}$, $\mathcal{I}_{ibi}$ を用いて自然な位相を定義する。
• Bornologificationおよび完備化ファンクターを適用し、強い双対およびBornologica双対を導出し、$\widehat{\mathcal{E}'_{\Lambda}}$ が $\mathcal{D}'_{\Gamma}$ のBornologica双対（$\Gamma = -\Lambda^c$）であることを示す。
• Duistermaatおよび[BDH]の結果を用いて、引き戻し写像 $f^*$ の連続性を、波フロント集合の推移的推移 $DWF(f^*u) \subset df^* DWF(u)$ を用いて確立する。
• 偏極化された台の条件および拡張可能な族 $\mathcal{C}$ を用いて、台の制御を一般化し、引き戻し写像および位相的連続性と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{E}'_{\Lambda}$ の関数解析的構造、特にその完備化は何か。これは、それが逐次完備でないため、特に重要である。
• RQ2 波フロント集合の条件を用いて、$\mathcal{E}'_{\Lambda}$ の完備化を自然に特徴づける方法は何か。
• RQ3 nested cones $\gamma \subset \Lambda \subset \overline{\gamma}$ を満たす一般化されたHörmander空間 $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ および $\mathcal{E}'_{\gamma,\Lambda}$ の双対性、Bornologica性、位相的性質は何か。
• RQ4 滑らかな写像による引き戻し写像において、分布の波フロント集合の伝播はどのように振る舞うか。特に、一般化された空間に対しては。
• RQ5 Mackey位相 $\mathcal{I}$ が $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ 上で核型または擬LB型であるための条件は何か。

主な発見

• 完備化 $\mathcal{E}'_{\Lambda}$ は、正確に $\{ u \in \mathcal{E}' : DWF(u) \subset \Lambda \}$ に一致し、これにより完備化の明示的な微局所的特徴づけが得られる。
• Mackey位相 $\mathcal{I}$ が $\mathcal{D}'_{\gamma,\gamma}$ 上で核型であり、$\mathcal{I}_{iii}$ と一致することを示し、強い位相的および双対性の性質が保証される。
• $\Lambda$ が閉かつ $\gamma$ が開であれば、$\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ は完備かつ擬LB型であり、座標の選び方に依存しない。
• 引き戻し写像 $f^*$ は、$\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}(U_2, \mathcal{C}; E)$ から $\mathcal{D}'_{df^*\gamma, \overline{df^*\gamma}}(U_1, f_e^{-1}(\mathcal{C}); f^*E)$ への連続写像であり、$DWF(f^*u) \subset df^* DWF(u)$ を満たす。
• $\mathcal{D}'_{\Gamma}$ のBornologificationは、$\mathcal{E}'_{\Lambda}$ の強い双対を与える。また、$\mathcal{E}'_{\Lambda}$ の完備化は、$\Gamma = -\Lambda^c$ の下で $\mathcal{D}'_{\Gamma}$ のBornologica双対である。
• $\mathcal{D}'_{\gamma,\Lambda}$ 上の位相は、座標の選び方に依存しない。これは、[BD]および[Du]の逐次連続性およびMackey連続性の議論により示される。