[論文レビュー] Functions which are PN on infiitely many extensions of Fp, p odd

Elodie Leducq|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_p$ の無限個の拡張上で完全非線形（PN）である唯一のべき写像 $x \mapsto x^m$ は、正の整数 $l$ に対して $m = 1 + p^l$ であることを証明している。Bézoutの定理と多項式 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$ の特異性解析を用いて、$m \equiv 1 \mod p$ であるがそれ以外の $m$ は、絶対的既約因子を持つことになり、大規模な拡張ではPN性が破られることが示された。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime number. We prove that for $m\equiv1\mod p$, $x^m$ is perfectly nonlinear over $\mathbb{F}_{p^n}$ for infinitely many $n$ if and only if $m$ is of the form $p^l+1$, $l\in\mathbb{N}$. First, we study singularities of $f(x,y)=\frac{(x+1)^m-x^m-(y+1)^m+y^m}{x-y}$ and we use Bezout theorem to show that for $m eq 1+p^l$, $f(x,y)$ has an absolutely irreducible factor. Then by Weil theorem, f(x,y) has rationnal points such that $x eq y$ which means that $x^m$ is not PN.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_p$ の無限個の拡張上で完全非線形（PN）であるべき写像 $x \mapsto x^m$ をすべて同定すること。
• 特異数 $2$ のAPN関数に対して用いられた手法を、奇数の特異数におけるPNケースに拡張すること。
• $m \equiv 1 \mod p$ であるが $m = 1 + p^l$ でないような指数 $m$ に対して、$x^m$ が無限個の $\mathbb{F}_{p^n}$ でPNのままであるかどうかを特定すること。

提案手法

• 多項式 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$ を分析し、$x^m$ のPN条件を符号化している。
• Bézoutの定理を適用して、$h$ の成分の総交差数を評価し、特異点の重複度の二乗和と関連づける。
• 特異点の重複度を特異性解析により計算し、特に $m \equiv 1 \mod p$ の場合に、可能な因数分解を制限する不等式を導出する。
• もし $h$ が $\mathbb{F}_p$ 上で絶対的既約因子を持つならば、$\mathbb{F}_{p^n}$ の大規模な拡張では $x^m$ はPNでないことを、有理点の数の上限を用いた点数評価により示す。
• ガロア降下とフロベニウス自己同型の議論を用いて、$\gcd(m-1, p-1) > 1$ ならば、$h$ は $\mathbb{F}_p$ 上で絶対的既約因子を持つ必要があることを示し、非PN性を導く。
• もし $m \neq 1 + p^l$ かつ $m \equiv 1 \mod p$ ならば、次数と特異性の制約が矛盾を引き起こす。これは $h$ が絶対的既約因子を持つ場合を除き、$n$ が十分に大きいとPN性が成立しないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_p$ の無限個の拡張上で完全非線形（PN）であるべき写像 $x \mapsto x^m$ はどれか？
• RQ2 特異数 $2$ のAPNケースに類似した代数幾何学的手法を用いて、奇数の特異数におけるPN関数の特徴付けを拡張できるか？
• RQ3 ある $m \equiv 1 \mod p$ で $m \neq 1 + p^l$ であるが、$x^m$ が無限個の $\mathbb{F}_{p^n}$ でPNのままであるようなものはあるか？
• RQ4 多項式 $h(x,y)$ は、奇数の特異数の有限体上での $x^m$ のPN性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 奇素数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_p$ の無限個の拡張上で完全非線形（PN）であるべき写像 $x \mapsto x^m$ は、正の整数 $l$ に対して $m = 1 + p^l$ である場合に限る。
• もし $m \equiv 1 \mod p$ かつ $m \neq 1 + p^l$ ならば、$h(x,y)$ は $\mathbb{F}_p$ 上で絶対的既約因子を持つ。これは、十分に大きな $n$ に対して $x^m$ が $\mathbb{F}_{p^n}$ でPNでないことを意味する。
• 仮定 $m \neq 1 + p^l$ かつ $m \equiv 1 \mod p$ の下で、次数制約 $\deg(h)^2 \leq \sum_t m_t(h)^2$ が矛盾を引き起こす。これは $m = 1 + p^l$ でない限り成立しない。
• $\gcd(m-1, p-1) > 1$ ならば、$\mathbb{F}_p$ に $p$-有理根の単位根が存在するため、$h$ は $\mathbb{F}_p$ 上で絶対的既約因子を持つ必要があり、非PN性が強制される。
• $m = p^l(p^l - 1) + 1$ の場合は、奇数であるため除外される。奇数の $m$ では、$x=0,1$ が両方とも $(x+1)^m - x^m = 1$ を満たすため、$\mathbb{F}_p$ 上でPN関数は得られない。
• 証明は、Weil型推定を用いて $h$ の成分上の有理点の数を評価することに依存しており、絶対的既約因子が存在する場合、$\phi(x+a) - \phi(x) = b$ に対して余分な解が生じ、PN条件を破ることを示している。