[論文レビュー] Further Computations of Galois Representations Associated to Modular Forms

Peng Tian|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、レベル1の尖点形式に付随する mod ℓ モジュラー表現を計算するための改善されたアルゴリズムを提示し、ℓ = 29（k=16）および ℓ = 31（k=12,20,22）に対して明示的な計算を可能にした。正しさの厳密な証明も併せて提供している。また、符号を除き大きな素数におけるラマヌジャンのタウ関数の mod 31 での値を計算し、タウ関数の Lehmer の予想に対するより厳しい上界を確立した。

ABSTRACT

We propose an improved algorithm for computing mod $\ell$ Galois representations associated to a cusp form $f$ of level one. The proposed method allows us to explicitly compute the case with $\ell=29$ and $f$ of weight $k=16$, and the cases with $\ell=31$ and $f$ of weight $k=12,20, 22$. All the results are rigorously proved to be correct. As an example, we will compute the values modulo $31$ of Ramanujan's tau function at some huge primes up to a sign. Also we will give an improved higher bound on Lehmer's conjecture for Ramanujan's tau function.

研究の動機と目的

• レベル1の尖点形式に関連する mod ℓ Galois 表現を、より効率的かつ厳密に計算するためのアルゴリズムの開発。
• 従来の方法では不可能だった、より高い素数 ℓ やより高い重み k におけるこれらの表現の明示的計算を拡張すること。
• アルゴリズムを用いて、符号を除き大きな素数におけるラマヌジャンのタウ関数の mod 31 での値を計算すること。
• ラマヌジャンのタウ関数の非ゼロ最小値に対する上界を改善し、Lehmer の予想を支援すること。

提案手法

• 高度なモジュラー形式理論と、有限体上のモジュラー記号計算のための効率的アルゴリズムを用いる。
• コhomology 上でのヘッケ作用素の作用を活用し、尖点形式に付随する mod ℓ Galois 表現を計算する。
• 大きな重みとレベル1の形式を効率的に処理するため、素数 ℓ での還元技術を用いる。
• 計算された表現の正しさを保証するため、厳密な誤差境界と検証手順を組み込む。
• 従来の手法が失敗した ℓ = 29 および ℓ = 31 においても、計算の実行可能性を最適化したアプローチを採用する。
• mod 31 でのタウ関数の値の計算は、抽出された Galois 表現データと再帰的法則（再帰性）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ = 29 および ℓ = 31 に対して、より高い重みにおいてレベル1の尖点形式の mod ℓ Galois 表現を効率的に計算できるか？
• RQ2 符号を除き、大きな素数におけるラマヌジャンのタウ関数の mod 31 での明示的値は何か？
• RQ3 これまでに処理不可能とされたケースに対し、アルゴリズムを厳密かつ計算可能にするにはどうすればよいか？
• RQ4 ラマヌジャンのタウ関数の非ゼロ最小値に対する、改善された上界をどのように確立できるか？
• RQ5 このアルゴリズムは、他の素数や重みへどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、重み k=16 の尖点形式に対して、mod 29 Galois 表現を正しく計算し、厳密な正しさの証明を提供した。
• 重み k=12, 20, 22 の尖点形式に対して、mod 31 Galois 表現を明示的に計算した。
• 本稿では、符号を除き、これまでにない規模で大きな素数におけるラマヌジャンのタウ関数の mod 31 での値を計算可能にした。
• ラマヌジャンのタウ関数の非ゼロ最小値に対する、新たな改善された上界が確立され、Lehmer の予想を支援する根拠が得られた。
• すべての計算された Galois 表現は、理論的および計算的検証を用いて、正しく正確であることが厳密に確認された。