[論文レビュー] Further studies on the notion of differentiable maps from Azumaya/matrix manifolds, I. The smooth case

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アズマヤ／行列多様体から滑らかな実多様体への微分可能写像の2つの定義の同値性を確立する。1つは $C^k$-適応的環準同型を介する定義、もう1つは単なる反変環準同型による定義である。滑らかさ（$C^\infty$）の場合の予想を証明する。主な結果は、滑らかな設定において、D-ブレーンの微分幾何的枠組みが代数幾何的枠組みと完全に類似していることを示しており、有限回微分可能な場合の一般化されたマルグラング型除法補題の予想が提示される。

ABSTRACT

In this follow-up of our earlier two works D(11.1) (arXiv:1406.0929 [math.DG]) and D(11.2) (arXiv:1412.0771 [hep-th]) in the D-project, we study further the notion of a `differentiable map from an Azumaya/matrix manifold to a real manifold'. A conjecture is made that the notion of differentiable maps from Azumaya/matrix manifolds as defined in D(11.1) is equivalent to one defined through the contravariant ring-homomorphisms alone. A proof of this conjecture for the smooth (i.e. $C^{\infty}$) case is given in this note. Thus, at least in the smooth case, our setting for D-branes in the realm of differential geometry is completely parallel to that in the realm of algebraic geometry, cf.\ arXiv:0709.1515 [math.AG] and arXiv:0809.2121 [math.AG]. A related conjecture on such maps to ${\Bbb R}^n$, as a $C^k$-manifold, and its proof in the $C^{\infty}$ case is also given. As a by-product, a conjecture on a division lemma in the finitely differentiable case that generalizes the division lemma in the smooth case from Malgrange is given in the end, as well as other comments on the conjectures in the general $C^k$ case. We remark that there are similar conjectures in general and theorems in the smooth case for the fermionic/super generalization of the notion.

研究の動機と目的

• アズマヤ／行列多様体から実多様体への微分可能写像の概念が、$C^k$-適応的環準同型を介して定義されるものと、単なる反変環準同型のみで定義されるものとが同値であるという予想を解決すること。
• この同値性を特に滑らかさ（$C^\infty$）の場合に証明することで、微分幾何的D-ブレーン枠組みを代数幾何的対応物と一致させること。
• 有限回微分可能な（$C^k$）場合の一般化された除法補題の予想を提示・支持することにより、マルグラングの定理を拡張すること。
• フェルミオン的／超多様体への一般化のための基礎を提供すること。滑らかさの場合には類似の予想と定理が期待される。

提案手法

• 写像 $f(m)$ の滑らかさを、$m$ を多様体上の行列値関数とするとき、ジョルダン標準形による分解と特異点集合を越えるフレーム遷移を用いて分析すること。
• マルグラング除法定理を用いて、$(f(x) - f(-x))/(2x)$ が $x=0$ で滑らかであることを示し、個々の成分（例：フレーム）が不連続であっても成立することを示す。
• ベクトル bundle $E$ の局所自明化と、基底座標 $x$ に依存する遷移行列 $S$ を用いることで、最終的な行列式が滑らかに保たれることを保証する。
• 個々に不連続であっても、$S f(J_m) S^{-1}$ の合成が特異性の相殺により滑らかになるという事実を証明で活用する。
• コ dimension-1 の部分多様体に沿った正規方向へのテイラー展開に基づき、$C^k$ の場合の一般化された除法補題の予想を提示する。
• 具体的な例として、$\mathbb{R}^1$ 上の行列値写像 $m = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & -x \end{bmatrix}$ を適用し、$x=0$ における不連続なフレーム遷移にもかかわらず $f(m)$ が滑らかであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アズマヤ／行列多様体から実多様体への $C^\infty$-微分可能写像の概念は、単なる反変環準同型に基づく定義と同値であるか？
• RQ2 マルグラング除法定理は、特異フレームを伴う行列値関数の滑らかさを保証する $C^k$-微分可能な場合に一般化可能か？
• RQ3 $m$ が行列値関数であるとき、ジョルダン標準形とフレーム遷移が不連続となる点でも $f(m)$ の滑らかさは維持されるか？
• RQ4 代数幾何的D-ブレーン枠組みは、この写像定義によって微分幾何的滑らか設定でも完全に再現可能か？
• RQ5 関数 $h$ が次数 $s-1$ まで微分係数が 0 となる codimension-1 の部分多様体を定める場合、$C^k$-関数に対するマルグラング除法定理の適切な一般化は何か？

主な発見

• アズマヤ／行列多様体から実多様体への $C^\infty$-適応的環準同型と反変環準同型が定義する微分可能写像の概念が同値であるという予想が、滑らかさの場合に証明された。
• 行列値関数 $m = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & -x \end{bmatrix}$ に対して、$x=0$ における不連続なフレーム遷移にもかかわらず、$S f(J_m) S^{-1}$ の式における相殺により $f(m)$ は滑らかに保たれる。
• 任意の $f \in C^\infty(\mathbb{R}^1)$ に対して、$(f(x) - f(-x))/(2x)$ は $x=0$ で滑らかである。これはマルグラング除法定理によって確立された結果である。
• $C^k$ の場合の一般化された除法補題の予想が提示される：任意の $f \in C^k(\mathbb{R}^{m+1})_{(0)}$ は、$g \in C^k(\mathbb{R}^{m+1})_{(0)}$ および $a_i \in C^{k-i}(\mathbb{R}^m)_{(0)}$ を用いて $f = gh + \sum_{i=1}^s a_i y^{s-i}$ と書ける、$h$ の条件のもとで成立する。
• 証明技法により、点における $\tilde{\varphi}^\sharp(f)$ の滑らかさは局所的ジェルムにのみ依存し、中間成分が直接滑らかでなくてもマルグラング定理がこの性質を確立するために不可欠であることが示された。
• この枠組みにより、D-ブレーンの微分幾何的設定と代数幾何的設定との間で完全な類似性が得られ、滑らかさの場合には完全に解決された。