[論文レビュー] Morphisms from Azumaya prestable curves with a fundamental module to a projective variety: Topological D-strings as a master object for curves

Si Li, Chien‐Hao Liu+2 more|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Polchinski-Grothendieckの仮説を用いて、アズマヤプリスタブル曲線とその基本的モジュールを有する射のモジュライスタックを構成することで、トポロジカルD-ストリング世界面インスタントンの数学的枠組みを確立する。主な貢献は、忘却函手と代用対象を介してDブレーンのモジュライと安定・プリスタブル曲線のモジュライを統合する射としてB型Dストリングの幾何的実現を達成することにある。

ABSTRACT

This is a continuation of our study of the foundations of D-branes from the viewpoint of Grothendieck in the region of the related Wilson's theory-space where "branes" are still branes. In this work, we focus on D-strings and construct the moduli stack of morphisms from Azumaya prestable curves $C^{Az}$ with a fundamental module ${\cal E}$ to a fixed target $Y$ of a given combinatorial type. Such a morphism gives a prototype for a Wick-rotated D-string of B-type on $Y$, following the Polchinski-Grothendieck Ansatz, and this stack serves as a ground toward a mathematical theory of topological D-string world-sheet instantons.

研究の動機と目的

• 代数的幾何学を用いて、弦理論におけるトポロジカルDストリング世界面インスタントンの数学的理論を構築すること。
• B型Dストリングをアズマヤプリスタブル曲線とその基本的モジュールからの射としてモデル化することで、Polchinski-Grothendieckの仮説をDストリングへ拡張すること。
• 標準的な曲線とベクトル bundle のモジュライ空間を統合するマスターオブジェクトとして機能する、このような射のモジュライスタックを確立すること。
• 射の族の有界性を証明し、標的が射影空間の場合に明示的な表現を与えること。
• 忘却函手と安定化を用いて、古典的なモジュライスタック $\overline{M}_g$ および $\overline{\mathrm{Bun}}_{(g,r,\chi)}$ をDストリングモジュライスタックに埋め込むこと。

提案手法

• 組合せ的型 $(g,r,\chi\mid\beta)$ を持つ固定された射影的多様体 $Y$ へのアズマヤプリスタブル曲線とその基本的モジュールからの射をパラメトライズするモジュライスタック $Τ_{\overline{\mathrm{Az}}(g,r,\chi)^f}(Y,\beta)$ を構成する。
• 代用構成を用いて、非可換アズマヤ設定を $C_{g,n} \times Y$ 上の層の商に帰着させることで、完全に可換的幾何学的問題に再定式化する。
• 再定式化された可換的表現とラインバンドルの相対的アンピュラス性を活用して、射の族の有界性定理を適用する。
• 射 $\mathbb{P}^k$ への射を、固定されたランク $r$ とオイラー標跡 $\chi_{n'}$ を持つ $C_{g,n} \times Y$ 上の層のQuotスキームを用いて表現する。
• 相対的Quotスキームとアンピュラスラインバンドルを用いて装飾付きアトラスを備えることで、代数的スタック構造を保証する。
• 忘却函手と安定化手続きを用いて、Dストリングスタックが安定曲線およびベクトルバンドルの古典的モジュライスタックと関係づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Polchinski-Grothendieckの仮説を、基本的モジュールを有するアズマヤプリスタブル曲線からの射としてB型Dストリングをモデル化するためにどのように拡張できるか？
• RQ2 このような射のモジュライスタックの構造は何か？ そして、射影的標的多様体に対して代数的にどのように構成できるか？
• RQ3 アズマヤ構造の非可換幾何学は、有界性と構成可能性を保証するために、どのように可換的幾何的枠組みに再定式化できるか？
• RQ4 Dストリングモジュライスタックは、忘却函手と安定化函手を介して、標準的な曲線とベクトルバンドルのモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ5 Dストリングモジュライスタックは、代用対象と安定化を介して、曲線、ベクトルバンドル、ハーツィングスキームの異なるモジュライ問題を統合するマスターオブジェクトとしてどのように機能するか？

主な発見

• モジュライスタック $Τ_{\overline{\mathrm{Az}}(g,r,\chi)^f}(Y,\beta)$ は、相対的Quotスキームとアンピュラスラインバンドルを用いた装飾付きアトラスにより、well-definedな代数的スタックとして構成された。
• 代用構成を用いることで、アズマヤプリスタブル曲線の非可換設定が可換的幾何学的問題に等価であることが示され、有界性の証明が可能になった。
• 問題を可換設定に還元し、標準的な有界性定理を適用することで、射の族の有界性が確立された。
• 標的が $\mathbb{P}^k$ の場合、射は固定ランク $r$ とオイラー標跡 $\chi_{n'}$ を持つ $C_{g,n} \times Y$ 上の層のQuotスキームによってパラメトライズされる。
• Dストリングモジュライスタックは $\overline{M}_g$ および $\mathrm{Bun}_{(g,r,\chi)}$ への忘却写像を備えており、古典的モジュライ空間がDストリングフレームワークに埋め込まれる。
• このスタックは、代用対象と安定化を介して、曲線、ベクトルバンドル、ハーツィングスキームのモジュライを統合するユニバーサルマスターオブジェクトとして機能し、トポロジカルDストリングインスタントンの数学的理論を支持する。