[論文レビュー] Azumaya-type noncommutative spaces and morphisms therefrom: Polchinski's D-branes in string theory from Grothendieck's viewpoint

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 124被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、非可換アズマヤ代数へのグロテンディークの可換環と空間の双対性の一般化を通じて、弦理論におけるD-braneの非可換幾何的枠組みを提案する。これにより、Higgsing/非Higgsingやモジュライ空間構造といった主要な物理現象を自然に再現する、内在的な代数幾何的定義が可能になる。主な結果は、滑らかな射影的カーボリ・ヤウ表面におけるD0-braneのモジュライ空間が、古典的対称積と量子ヒルベルトスキームの両方を埋め込み、非可換な写像空間を通じて古典的および量子的モジュライを統合することである。

ABSTRACT

We explain how Polchinski's work on D-branes re-read from a noncommutative version of Grothendieck's equivalence of local geometries and function rings gives rise to an intrinsic prototype definition of D-branes (of B-type) as an Azumaya-type noncommutative space. Several originally open-string induced properties of D-branes can be reproduced solely by this intrinsic definition. We study also the moduli space of D0-branes on a commutative target space in this setup. Some of its features resembles gas of D0-branes in Vafa's work.

研究の動機と目的

• 非可換代数幾何学を用いて、弦理論におけるD-braneの内在的で数学的に厳密な定義を提供すること。
• 従来のサイクルに基づく定義が自然に捉えきれない、D-braneのHiggsing/非Higgsing行動を純粋な代数幾何的枠組み内で再現すること。
• 滑らかな射影的カーボリ・ヤウ表面におけるD0-braneの古典的モジュライ空間（チャウ多様体）と量子的モジュライ空間（ヒルベルトスキーム）を、同一の非可換モジュライ空間の写像として統一すること。
• ポルチンスキーによるD-braneがR-R場の源であるという物理的同定と、グロテンディークのスキームの関手的アプローチとの間の橋渡しを、非可換一般化を通じて確立すること。
• 滑らかな射影的カーボリ・ヤウ表面におけるD0-braneのモジュライ空間が、$ S^nY $ および $ Y^{[n]} $ を両方含み、後者が量子補正モジュライ空間としてハイパーカイラー解体を実現することを示すこと。

提案手法

• 可換環とスキームの間のグロテンディークの同値性を非可換アズマヤ代数へ一般化し、モジュールの圏を用いて非可換空間を定義する。
• D-braneを非可換空間 $ (\text{Space}\big(M_n(\bbC), \bbC^n\big)) $ から標的空間 $ Y $ への写像として定義する。ここで、出発側はチャン・パトン bundle とD-braneの電荷を符号化する。
• このような写像のパラメータ空間としてのモジュライ空間 $ \text{Map}\big((\text{Space}\big(M_n(\bbC), \bbC^n\big), Y) $ を構成し、これが自然に対称積 $ S^nY $ とヒルベルトスキーム $ Y^{[n]} $ の両方を含む。
• 自然な射影 $ \tilde{\rho}: \text{Map} \to S^nY $ のヒルベルト写像の像への制限 $ \text{Im}\big(\tilde{\rho}|_{\text{Im}\tilde{\rho}_{\text{Hilb}}} \big) $ を用いて、解体 $ Y^{[n]} \to S^nY $ を実現する。
• 代数幾何学の既知の結果（レーンとソルジャーの研究、ウリベの定理など）を活用し、カーボリ・ヤウ表面では $ Y^{[n]} $ が $ S^nY $ のハイパーカイラー解体であることを示し、これは弦理論における量子補正モジュライ空間と一致する。
• D4-brane 上のD0-braneにこの枠組みを適用し、滑らかな射影的曲面 $ Y $ 上のD0-braneのモジュライ空間が、同一の非可換写像空間を通じて古典的および量子的配置を統合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディークの双対性の非可換一般化は、Higgsingといった物理的挙動を自然に捉える、D-braneの自然で内在的な定義を提供できるか？
• RQ2 カーボリ・ヤウ表面におけるD0-braneの古典的モジュライ空間 $ S^nY $ と量子的モジュライ空間 $ Y^{[n]} $ を、同一の数学的枠組み内で統一できるか？
• RQ3 アズマヤ型非可換空間は、代数幾何学においてチャン・パトン bundle とD-braneの電荷をどのように実現するか？
• RQ4 非可換空間から標的多様体への写像のモジュライ空間は、自然にヒルベルトスキームとチャウ多様体を部分構造として含むか？
• RQ5 バーファが予測し、オルビフォールドコホノロジーによって裏付けられた、D0-braneの量子補正モジュライ空間は、非可換幾何的構成から導けるか？

主な発見

• 滑らかな射影的カーボリ・ヤウ表面 $ Y $ 上のD0-braneのモジュライ空間は、非可換アズマヤ空間からの写像空間の像として実現され、ここには $ S^nY $ と $ Y^{[n]} $ が両方部分構造として含まれる。
• ヒルベルトスキーム $ Y^{[n]} $ は自然な写像 $ \tilde{\rho}_{\text{Hilb}} $ の像として現れ、射影 $ \tilde{\rho} $ のこの像への制限により解体 $ Y^{[n]} \to S^nY $ が得られる。
• カーボリ・ヤウ表面 $ Y $ に対して、ヒルベルトスキーム $ Y^{[n]} $ は対称積 $ S^nY $ のハイパーカイラー解体であり、これはバーファの予測およびチェン＝ルアンのオルビフォールドコホノロジーによる確認と一致する。
• この構成により、量子モジュライ空間 $ \tilde{S}^nY $ は $ S^nY $ のオルビフォールドコホノロジーとして実現され、これは通常のコホノロジー $ Y^{[n]} $ と同型である。これにより、カーボリ・ヤウの場合におけるルアンの予想が確認される。
• この枠組みは、D-braneモジュライの古典的および量子的側面を自然に統合する：対称積 $ S^nY $ は古典的配置空間に対応し、$ Y^{[n]} $ は量子補正空間に対応する。非可換写像空間が両者を統合する。
• D-braneのHiggsing/非Higgsing挙動は、非可換幾何学的写像 $ (\text{Space}\big(M_n(\bbC), \bbC^n\big)) $ の性質に自然に符号化されており、束縛状態と非束縛状態の間の物理的遷移を捉えている。