[論文レビュー] $G$-martingale representation in the $G$-L'evy setting

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、活性度が有限でドリフトのない $G$-Lévy過程に対するマルティンググール表現定理を確立し、任意のこのようなマルティンググールが三つの成分に分解されることを示している：連続的 $G$-ブラウン運動に関する伊藤積分、ジャンプ成分の補正付き伊藤-レヴィ積分、および単調減少な連続的 $G$-マルティンググール。主な貢献は、非線形期待の下で厳密な分解を確立したことであり、ボラティリティおよびジャンプの不確実性を伴う非支配的確率測度への古典的マルティンググール表現の拡張を実現した。

ABSTRACT

In this paper we give the decomposition of a martingale under the sublinear expectation associated with a $G$-L'evy process X with finite activity and without drift. We prove that such a martingale consists of an Ito integral w.r.t. continuous part of a $G$-L'evy process, compensated Ito-L'evy integral w.r.t. jump measure associated with $X$ and a non-increasing continuous $G$-martingale starting at 0.

研究の動機と目的

• $G$-ブラウン運動を一般化するジャンプ不確実性を組み込んだ $G$-レヴィ過程へのマルティンググール表現理論の拡張を目的とする。
• ボラティリティとジャンプ測度が曖昧で、単一の確率測度に支配されないファイナンス分野におけるモデル不確実性に対処すること。
• ドリフトが存在せず、ボラティリティとジャンプ不確実性が独立である場合の非線形期待下での $G$-マルティンググールの分解を確立すること。
• 分解が対称的伊藤積分、補正付きジャンプ積分、および単調減少な連続的 $G$-マルティンググールを含むことを証明し、異なる確率測度下での異なる性質を明らかにすること。

提案手法

• フレームワークは、ボラティリティ、ジャンプ、ドリフトの不確実性を反映する非線形積分微分方程式（integro-PDE）の粘性解を用いて定義される非線形期待空間 $(\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E})$ を使用する。
• 分析は、粘性解の滑らかさを保証する2階非退化条件に依存し、これにより $G$-レヴィ設定における伊藤積分の適用が可能になる。
• ジャンプに関連するポアソン確率測度に対して補正手続きを導入し、非線形期待下で補正積分が $G$-マルティンググールであることを証明する。
• ファミリー $\mathfrak{P}$ の非支配的確率測度上で本質的上界を用いた Hölder の不等式と、前もって得られた推定式を用いて分解のための推定式を導出する。
• 初めに停止時刻 $\tau_\lambda$ における近似および分割技術を用いて単純な確率変数に対して表現を確立し、その後 $L^p_G$-可積分な広いクラスの確率変数へと拡張する。
• 条件付き期待 $M_t = \mathrm{ess\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathfrak{P}(t,\mathbb{P})} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\xi|\mathcal{F}_t]$ が $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$ 全体にわたって一様に有界であることが保証され、これにより表現が正当化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 活動度が有限でドリフトのない $G$-レヴィ過程におけるマルティンググールは、どのように基本的成分に分解できるか？
• RQ2 非線形期待下でのマルティンググール表現において、補正付き伊藤-レヴィ積分の役割は何か？
• RQ3 分解の異なる成分は、非支配的確率測度下でどのように振る舞うか？
• RQ4 クラシカルなマルティンググール表現定理は、$G$-期待下での拡散とジャンプの両方の不確実性を有する過程へと拡張可能か？
• RQ5 本分解の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• マルティンググール分解は三つの直交成分から成る：連続的 $G$-ブラウン運動に関する伊藤積分、ジャンプ測度に関する補正付き伊藤-レヴィ積分、およびゼロから開始する単調減少な連続的 $G$-マルティンググール。
• 伊藤積分成分は対称的マルティンググールである。これは、すべての $\mathfrak{P}$ 内の確率測度においてマルティンググールであることを意味するが、他の成分は一部の測度ではスーパーマルティンググールの性質を満たすにとどまる。
• ポアソン確率測度に関する補正積分が非線形期待下で $G$-マルティンググールであることが証明され、分解の有効性が保証される。
• 分解は、停止時刻技術および近似を用いることで、単純な過程を越える広い $L^p_G$-可積分な確率変数のクラスに対しても成立する。
• 一様な有界性が確立された：すべての $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$ に対して $\mathbb{E}^\mathbb{P}[|M^*_T|^2] \leq C_p \|\xi\|_{L^p_G}^2$ が成り立ち、$C_p$ は $\mathbb{P}$ に依存しない。これにより表現の安定性が保証される。
• 証明は、$M_{\tau_\lambda} = \sup_j \mathbb{E}^{\mathbb{P}_j}[\xi|\mathcal{F}_{\tau_\lambda}]$ $\mathbb{P}$-ほとんど至るところ成立するような列 $\{\mathbb{P}_j\}$ の存在に依存しており、これにより本質的上界および測度再重み付け $\hat{\mathbb{P}}^n$ の使用が可能になる。