[論文レビュー] Galois equivariance of critical values of $L$-functions for unitary groups

Lucio Guerberoff, Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ群上のコhomologicalな自動形式表現の$L$関数の臨界値とホロモーフィック自動形式のペーター損ノルムを結ぶ公式のガロア同変な精密化を確立する。倍積法にガロア作用を組み込み、アーキメデス的ゼータ積分とCM周期を分析することで、これらの特殊値が代数的因子を除いてガロア共役に関して不変であることを証明し、デリーニュの臨界値に関する予想との整合性を確認した。

ABSTRACT

The goal of this paper is to provide a refinement of a formula proved by the first author which expresses some critical values of automorphic $L$-functions on unitary groups as Petersson norms of automorphic forms. Here we provide a Galois equivariant version of the formula. We also give some applications to special values of automorphic representations of $\GL_{n} imes\GL_{1}$. We show that our results are compatible with Deligne's conjecture.

研究の動機と目的

• 臨界$L$-値を自動形式のペーター損ノルムとして表す既存の公式を、ガロア同変に精錬すること。
• 倍積法に生じるゼータ積分における$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$の作用を分析すること。
• 補助的ヘッケ特徴を組み込み、特殊値がガロア共役に関して正しく変換されることを証明すること。
• 精錬された公式がモチーフの臨界値に関するデリーニュの予想と整合することを検証すること。

提案手法

• 倍積法を用いて、$L$関数をイーゼンスタイン級数と自動形式を含むゼータ積分と関連付ける。
• アーキメデス的ゼータ積分$Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)$を分析し、$F^{\operatorname{Gal}}$に属することを示すが、ガロア同変形式に含める必要がある。
• 修正された周期$Q(\pi,\psi)$を、$\pi \otimes \psi$内の算術的ベクトルの逆ペーター損ノルムとして導入し、ガロア同変的に変換されることを示す。
• $\mathbb{Q}^\times$を除いて定義されるアーティンモチーフ周期$\delta[\varepsilon_F]$を組み込み、$F^{\operatorname{Gal}}$に属し、ガロア構造に寄与する。
• 非分岐局所表現に対して、ガロア共役とベースチェンジの可換性を確立し、それを自動形式表現に大域的に拡張する。
• 局所的および大域的ベースチェンジの整合性を用いて、ユニタリ群上の表現を$\operatorname{GL}_n$上の表現と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界$L$-値をペーター損ノルムとして表す公式を、どのようにガロア同変にできるか？
• RQ2 ガロア共役に関してアーキメデス的ゼータ積分がどのように振る舞い、特殊値公式にどのように影響するか？
• RQ3 CM周期と二次周期はガロア作用に関してどのように変換され、ガロア不変な式に統合できるか？
• RQ4 精錬された臨界$L$-値公式は、モチーフの臨界値に関するデリーニュの予想の期待を満たしているか？
• RQ5 ガロア共役化された自動形式表現のベースチェンジは、そのベースチェンジのガロア共役と同型であるか？

主な発見

• 臨界$L$-値$L^S(m - \frac{n-1}{2}, \pi \otimes \psi, \operatorname{St})$は、$E(\pi, \psi)$の元による乗法を除いて、逆ペーター損ノルム$Q(\pi, \psi)$に対してガロア同変に関係づけられる。
• アーキメデス的ゼータ積分$Z_\infty(m;\pi,\psi,\alpha)$は$F^{\operatorname{Gal}}$に属するが、ガロア同変形式に不可欠であり、無視できない。
• 二次拡大$F/F^+$に付随する周期$\delta[\varepsilon_F]$は$\mathbb{Q}^\times$を除いてガロア不変であり、特殊値公式に寄与する。
• 公式はデリーニュの予想と整合する：臨界値は$E(\pi, \psi)$に属し、$2\pi i$のべきを除いて代数的である。
• ガロア共役化された自動形式表現$^\sigma\pi$のベースチェンジは、$\pi$のベースチェンジのガロア共役と同型である。すなわち$BC(^\sigma\pi) \cong {}^\sigma(BC(\pi))$。
• 精錬された公式は、臨界$L$-値を$\sim_{E(\pi,\psi)} (2\pi i)^{[F^+ among others, 代数的因子におけるガロア作用が完全に反映された形で表している。