[論文レビュー] Galois module structure of Milnor K-theory mod p^s in characteristic p

Jan Minaÿc, Andrew Schultz+1 more|ArXiv.org|Feb 24, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴が $p$ である体の巡回拡大において、ミルナー K-理論群の $p^s$ を法とするガロアモジュール構造を決定する。$K_mE/p^sK_mE$ は、$ℝ/p^sℝ[\operatorname{Gal}(E/F)]$ 上の自由モジュールの直和に分解され、そのランクは剰余体におけるノルム像によって定まる。この結果は、$p$- torsion ミルナー K-理論に関する先行研究を拡張し、すべての自由和因子が非ゼロであるような明示的な拡大の構成を提供する。

ABSTRACT

Let E be a cyclic extension of pth-power degree of a field F of characteristic p. For all m, s in N, we determine K_mE/p^sK_mE as a (Z/p^sZ)[Gal(E/F)]-module. We also provide examples of extensions for which all of the possible nonzero summands in the decomposition are indeed nonzero.

研究の動機と目的

• 巡回拡大 $E/F$ の次数が $p^n$ である特徴 $p$ の体において、$(\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z})[\operatorname{Gal}(E/F)]$-モジュールとしての $K_mE/p^sK_mE$ の構造を特定すること。
• $k_mE = K_mE/pK_mE$ に関する先行結果を、$s=1$ の場合に一般化してより高いモジュラス $p^s$ に拡張すること。
• すべての可能な自由和因子が非ゼロであるような明示的な体の拡大を構成することにより、すべての $p$-冪次元が実現可能であることを示すこと。
• $k_mE$ に現れる不分解的 $ℝ_p[\operatorname{Gal}(E/F)]$-モジュールの次元がすべて $p$ の冪であり、かつすべての $i=0,\dots,n$ に対して $p^i$ の次元が適切な例で現れることを示すこと。

提案手法

• Izhboldin が確立した $K_mE$ に $p$- torsion が存在しないことを利用し、$s$ に関する帰納法によって [BLMS] の $s=1$ の結果を高次の $s$ に持ち上げる。
• $K_mE/p^{s-1}K_mE$ からの適合する $p^s$ を法とする上昇により、$K_mE/p^sK_mE$ の基底元の代表元を構成し、$G$-不変性を保証する。
• $0 \leq i \leq n$ に対して、$R_sG_i = \mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\operatorname{Gal}(E_i/F)]$ 上の自由モジュールとしての部分モジュール $Y_i$ を定義し、$k_mE_i$ のノルム像の次元およびノルム群の商の次元からランクを導出する。
• ミルナー K-理論における射影公式および剰余写像を用いて、$\{x_j, y_1, \dots, y_{m-1}\}$ に対応する $k_mF$ の元が $N_{E_j/F}k_mE_j$ には属するが、$N_{E_{j+1}/F}k_mE_{j+1}$ には属しないことを確認し、非ゼロの和因子を保証する。
• 基底体 $K$ 上で既知の $m=1$ の拡大を用い、繰り返し冪級数体をとることで、すべての $m \geq 1$ に対して必要なノルム条件を満たす明示的な体の拡大 $E/F$ を構成する。
• アーチン＝シュレーア演算子およびミルナー＝ウィット群 $Q^m(F,s)$ を含む完全系列を用い、$K_mF/p^sK_mF$ を微分形式と関連づけ、モジュール構造を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 $p$ の巡回拡大 $E/F$ の次数が $p^n$ であるとき、$K_mE/p^sK_mE$ のガロアモジュール構造は何か？
• RQ2 分解における自由和因子のランクは、$K_mE_i$ のノルム群とどのように関係するか？
• RQ3 すべての可能な自由和因子が非ゼロであるような明示的な体の拡大を構成できるか？
• RQ4 $k_mE$ の直接和因子として現れる不分解的 $ℝ_p[\operatorname{Gal}(E/F)]$-モジュールの次元として可能なものは何か？
• RQ5 すべての $p$-冪次元 $p^i$（$i=0,\dots,n$）が、適切な拡大に対して $k_mE$ の不分解的和因子の次元として現れるか？

主な発見

• $R_sG$-モジュール $K_mE/p^sK_mE$ は $\oplus_{i=0}^n Y_i$ に分解され、各 $Y_i$ は $R_sG_i = \mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\operatorname{Gal}(E_i/F)]$ 上の自由モジュールである。
• $Y_n$ のランクは $\dim_{\mathbb{F}_p} N_{E/F}k_mE$ に等しく、$k_mE$ 上のノルム写像の像の次元である。
• $0 < i < n$ のとき、$Y_i$ のランクは $\dim_{\mathbb{F}_p} N_{E_i/F}k_mE_i / N_{E_{i+1}/F}k_mE_{i+1}$ に等しく、ノルム像の商の次元である。
• $i=0$ のとき、$Y_0$ は $R_s$ 上の自由モジュールであり、ランクは $\dim_{\mathbb{F}_p} k_mF / N_{E_1/F}k_mE_1$ に等しく、$G$-作用は自明である。
• $\widehat{K_mE} = \varprojlim_s K_mE/p^sK_mE$ は $\oplus_{i=0}^n \hat{Y}_i$ に同型であり、各 $\hat{Y}_i$ は $Y_i$ と同じランクの $\mathbb{Z}_pG_i$-自由モジュールである。
• すべての自由和因子 $Y_i$ が非ゼロである明示的例が構成され、すべての次元 $p^i$（$i=0,1,\dots,n$）が $k_mE$ の不分解的和因子の次元として現れることが示された。