[論文レビュー] Gauge/Bethe correspondence on $S^1 imes Σ_h$ and index over moduli space

Satoshi Okuda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ねじれた Chern-Simons-物質理論の分配関数が一般化された $G/G$ ゲージ化 WZW-物質モデルの分配関数と一致することを示すことにより、$S^1 \times \Sigma_h$ 上でのゲージ/Bethe対応を確立する。この一致は、$q$-フェルミオンの跳躍模型を通じて量子可積分構造を明らかにし、平坦接続のモジュライ空間上の幾何的インデックスとして分配関数を解釈する。ゲージ理論におけるウィルソンループ相関関数は、WZW-物質モデルにおける $G$-群要素の相関関数と正確に一致する。

ABSTRACT

We introduce two-types of topologically twisted Chern-Simons-matter theories on the direct product of circle and genus-h Riemann surface (S^1 imes Σ_h). The partition functions of first model agrees with the partition functions of a generalizations of G/G gauged WZW model. We also find that correlation functions of Wilson loops in first type Chern-Simons-matter theory coincide with correlation functions of G elements in the generalization of G/G gauged WZW model. The partition function of this model also has nice interpretations as norms of eigen states of Hamiltonian in the quantum integrable model (q-boson hopping model) and also as a geometric index over a particular moduli space. In the second-type Chern-Simons-matter theory, the partition function is related to integration over moduli space of Hitchin equation on Riemann surface.

研究の動機と目的

• $S^1 \times \Sigma_h$ 上のねじれた Chern-Simons-物質理論と $\Sigma_h$ 上の一般化された $G/G$ ゲージ化 WZW-物質モデルとの間の対応を確立すること。
• Chern-Simons-物質理論の分配関数が $q$-フェルミオン跳躍模型から生じる量子可積分構造をどのように引き継ぐかを示すこと。
• SU(2) の場合に、分配関数を平坦 $G$-接続のモジュライ空間上の幾何的インデックスとして解釈すること。
• 第二のモデルにおける分配関数の物理的および数学的意味を、Hitchin モジュライ空間に関連付けて明確化すること。
• 純粋な Chern-Simons 理論を超えて、物質および一般化された WZW モデルを含むゲージ/Bethe 対応を拡張すること。

提案手法

• 2次元における A-ねじれの $S^1$ 上昇により、$S^1 \times \Sigma_h$ 上に2種類のトポロジカルにねじれた Chern-Simons-物質理論を構成する。
• 経路積分の局在化を用いて、ゲージ場、ゴースト場、物質場の関数的行列式の比を計算することで、Model 1 の分配関数を評価する。
• Poisson 再帰と部分積分を用いて、 holonomy 変数 $\varphi$ に対する制約を導出し、超越方程式の解の和として表現する。
• 分配関数を $q$-フェルミオン模型のハミルトニアンの固有状態のノルムとして特定することで、ゲージ理論と量子可積分性の直接的な関係を確立する。
• 分配関数を Bethe 仮説型方程式の解の和として表現し、$q$-フェルミオン模型のスペクトルと関連付ける。
• SU(2) の場合、明示的な評価とパrameter 再定義（$u = e^{2\pi i\varphi}, t = e^{-2\pi m}$）により、分配関数が平坦 SU(2)-接続のモジュライ空間上のインデックスと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれた Chern-Simons-物質理論の分配関数（$S^1 \times \Sigma_h$ 上）は、$\Sigma_h$ 上の一般化された $G/G$ ゲージ化 WZW-物質モデルの分配関数とどのように関係するか？
• RQ2 $q$-フェルミオン跳躍模型は、Chern-Simons-物質理論の分配関数および相関関数を解釈する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Chern-Simons-物質理論の分配関数は、平坦 $G$-接続のモジュライ空間上の幾何的インデックスとして解釈可能か？
• RQ4 ゲージ理論におけるウィルソンループ相関関数は、WZW-物質モデルにおける $G$-群要素の相関関数とどのように対応するか？
• RQ5 第二のモデルの分配関数の物理的および数学的解釈は何か。これは Hitchin モジュライ空間への統合に関連している。

主な発見

• Model 1 の $S^1 \times \Sigma_h$ 上の分配関数は、1パラメータで変形されたモジュラー $S$-行列の逆行列の $\mu$ に関する和として表される一般化された $G/G$ ゲージ化 WZW-物質モデルの分配関数と正確に一致する：$\mathcal{Z}_{\text{GWZWM}}(\Sigma_h) = \sum_{\mu} \frac{1}{S^{2h-2}_{0\mu}(t)}$。
• Model 1 の分配関数は、$q$-フェルミオン跳躍模型におけるハミルトニアンの固有状態のノルムとして特定され、ゲージ理論と量子可積分性の間の直接的な関係を確立する。
• Chern-Simons-物質理論におけるウィルソンループ相関関数は、一般化された $G/G$ WZW-物質モデルにおける $G$-群要素の相関関数と正確に一致する。
• SU(2) の場合、分配関数はベーテの仮説型方程式の解の和として表され、$u^{2k+4}\left[\frac{1 - t u^{-2}}{1 - t u^{2}}\right]^2 = 1$ と表される。分配関数は $\mathcal{Z}^{\text{SU(2)}}_{\text{CSM}}(S^1 \times \Sigma_h) = (1 - e^{-2\pi m})^{h-1} \sum_{x \in \mathcal{B}_1} \left[ \cdots \right]^{h-1}$ と与えられ、幾何的インデックスとしての解釈を確認する。
• Model 1 の分配関数はトポロジカル量子場理論（TQFT）不変量として解釈され、また、量子可積分系の固有値方程式の解の和としても表現される。
• Model 2 の分配関数は、$\Sigma_h$ 上の Hitchin 方程式の解のモジュライ空間への統合に関連しているが、その量子可積分系の対応モデルはまだ明確でない。