[論文レビュー] On the heat kernel and the Dirichlet form of Liouville Brownian Motion

Christophe Garban, Rémi Rhodes+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、2次元リーマン面上のリーマン・ブラウン運動に関連するディリクレ型の存在を確立し、リーマン・ブラウン運動に関連するディリクレ型を特徴づけ、福田の定理を用いてリーマン・リゾルベントの強フォーラー特性を証明する。また、ディリクレ型から導かれる内在的距離が消えることを示し、微分不能で確率的な幾何構造において、標準的な距離に基づく幾何解析が失敗することを示している。

ABSTRACT

In \cite{GRV}, a Feller process called Liouville Brownian motion on $\R^2$ has been introduced. It can be seen as a Brownian motion evolving in a random geometry given formally by the exponential of a (massive) Gaussian Free Field $e^{γX}$ and is the right diffusion process to consider regarding 2d-Liouville quantum gravity. In this note, we discuss the construction of the associated Dirichlet form, following essentially \cite{fuku} and the techniques introduced in \cite{GRV}. Then we carry out the analysis of the Liouville resolvent. In particular, we prove that it is strong Feller, thus obtaining the existence of the Liouville heat kernel via a non-trivial theorem of Fukushima and al. One of the motivations which led to introduce the Liouville Brownian motion in \cite{GRV} was to investigate the puzzling Liouville metric through the eyes of this new stochastic process. One possible approach was to use the theory developed for example in \cite{stollmann,sturm1,sturm2}, whose aim is to capture the "geometry" of the underlying space out of the Dirichlet form of a process living on that space. More precisely, under some mild hypothesis on the regularity of the Dirichlet form, they provide an intrinsic metric which is interpreted as an extension of Riemannian geometry applicable to non differential structures. We prove that the needed mild hypotheses are satisfied but that the associated intrinsic metric unfortunately vanishes, thus showing that renormalization theory remains out of reach of the metric aspect of Dirichlet forms.

研究の動機と目的

• 2次元リーマン量子重力におけるリーマン・ブラウン運動に関連するディリクレ型を厳密に構成すること。
• リーマン・リゾルベントを解析し、それが強フォーラーであることを証明することで、福田の定理により熱核の存在を保証すること。
• ディリクレ型から導かれる内在的距離が、確率的で滑らかでないリーマン幾何において意味のある幾何的情報を捉えられるかを調査すること。
• この文脈において、リノーマル化理論がディリクレ型の距離構造を通じて到達可能かどうかを明らかにすること。

提案手法

• ポテンシャル論およびディリクレ型のトレースの技術を用い、[14]および[15]の手法に裏付けを置く。
• ガウス型乗法的カオスの理論を適用し、$e^{\gamma X(z) - \frac{\gamma^2}{2}\mathds{E}[X(z)^2]}dz$ を用いてリーマン測度 $M$ を確率測度として定義する。
• 確率関数の強化されたコルモゴロフ連続性基準を用いて、リーマン・リゾルベント $R^X_\lambda$ の強フォーラー特性を確立する。
• 関数 $f \in H^1(D,dx)$ に対して、ディリクレ型 $\Sigma(f,f)$ の明示的形を $\int_D \nabla f(x) \cdot \nabla f(x) \, dx$ として導出し、これが確率測度下で標準的ディリクレエネルギーと一致することを示す。
• [30,31,32] で提示された内在的距離構成法を、形式の正則性および強い局所性を用いてディリクレ型に適用する。
• 変更版のコルモゴロフ連続性基準（定理 B.1）を用いて、過程のパスのほとんど確実なホルダー連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ブラウン運動に関連するリーマン・リゾルベントは、強フォーラー特性を満たすか。これにより、遷移密度（熱核）の存在が保証されるか。
• RQ2 ディリクレ型から導かれる内在的距離は、2次元リーマン量子重力の確率的で滑らかでないメトリックに意味のある幾何的構造を提供できるか。
• RQ3 リーマン・ブラウン運動に関連するディリクレ型は正則的かつ強く局所的か。これにより、適切なポテンシャル論的枠組みが構築可能か。
• RQ4 形式がやや強い正則性仮定を満たしているにもかかわらず、なぜ内在的距離が消えるのか。これは、滑らかでない確率的幾何における幾何解析にどのような意味を持つのか。

主な発見

• リーマン・リゾルベントが強フォーラーであることが証明され、福田の定理の非自明な結果により、リーマン熱核の存在が保証される。
• リーマン・ブラウン運動に関連するディリクレ型は、明示的に $\Sigma(f,f) = \int_D |\nabla f(x)|^2 \, dx$（$f \in H^1(D,dx)$）として特定され、標準的ディリクレエネルギーと一致することが示された。
• ディリクレ型から導かれる内在的距離はほとんど確実に消えることが示され、これにより、基礎となる空間の幾何的構造がこの距離構成では捉えられないことが示された。
• 形式が正則的かつ強く局所的であるにもかかわらず、内在的距離は非自明な幾何を検出できないため、リノーマル化理論がこのアプローチでは到達不可能であることが示唆された。
• 本稿では、リーマン・ブラウン運動がリーマン測度 $M$ を保存することを確認し、この過程は $L^2(D,M)$ においてフォーラー的かつ対称的であることが示された。
• 強化されたコルモゴロフ連続性基準（定理 B.1）を用いて、過程のパスのほとんど確実なホルダー連続性が確立され、これが正則性解析に不可欠であることが示された。