[論文レビュー] General Genus Zhu Recursion for Vertex Operator Algebras

Michael P. Tuite, Michael Welby|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シュットキー埋め込みを用いて、頂点作用素代数（VOA）の朱の再帰を任意の genus のリーマン面へ一般化し、正則微分形式や GEM 形式といった幾何的対象として普遍係数を導出する。モジュライ空間上の微分作用素を介して conformal Ward 恒等式を確立し、ヘイゼンベルク VOA のすべての相関関数および偶数格子 VOA の分配関数を、シーゲル・シータ級数および genus-g ヘイゼンベルク分配関数の形で計算する。

ABSTRACT

We describe Zhu recursion for a vertex operator algebra (VOA) on a general genus Riemann surface in the Schottky uniformization where $n$-point correlation functions are written as linear combinations of $(n-1)$-point functions with universal coefficients. These coefficients are identified with specific geometric structures on the Riemann surface. We apply Zhu recursion to the Heisenberg VOA and determine all its correlation functions. For a general VOA, Zhu recursion with respect to the Virasoro vector is shown to lead to conformal Ward identities expressed in terms of derivatives with respect to the surface moduli. We derive linear partial differential equations for the Heisenberg VOA partition function and various structures such as the bidifferential of the second kind, holomorphic 1-forms and the period matrix. We also compute the genus $g$ partition function for an even lattice VOA.

研究の動機と目的

• シュットキー埋め込みの枠組みにおいて、朱の genus 1 再帰を任意の genus g リーマン面へ拡張すること。
• 再帰式における普遍係数を、正則微分形式や GEM 形式などの幾何的対象として同定すること。
• 分配関数に作用する微分作用素を介して、VOA における conformal Ward 恒等式を導出すること。
• ヘイゼンベルク VOA のすべての n 点関数および偶数格子 VOA の genus g 分配関数を計算すること。
• 格子 VOA の genus g 分配関数とシーゲル・シータ級数との関係を確立すること。

提案手法

• genus g リーマン面をパラメトライズするために、標準的でないパrameter を用いたシュットキー埋め込みを用いる。
• genus g n 点関数を、シュットキーパラメータと曲面の点に依存する無限和として定義する。
• genus 0 再帰と双線形形式の不変性を用いて、普遍係数 Ψ_N(x,y) と Θ_a(x,ℓ) を得る、genus g 朱再帰を導出する。
• Ψ_N(x,y) を GEM 形式（拡張された単純極を持つグリーン関数）として同定し、x において N-微分形式、y において (1−N)-準微分形式としての変換性を持つことを示す。
• バーチャル・スティーブンスの 1 点関数を、正則 2-微分形式から得られる係数を持つ微分作用素が分配関数に作用させることで表現し、モジュライ空間上の conformal Ward 恒等式を得る。
• ヘイゼンベルク分配関数および双微分形式、周期行列、射影接続といった幾何的対象のための線形偏微分方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 1 VOA における朱の再帰式を、シュットキー埋め込みの枠組みにおいて任意の genus g リーマン面へどのように一般化できるか？
• RQ2 高 genus 朱再帰式における普遍係数に対応する幾何的対象は何か？
• RQ3 genus g VOA の文脈において、バーチャル・スティーブンスのベクトルからどのように conformal Ward 恒等式が生じるか？
• RQ4 genus g 曲面上のヘイゼンベルク VOA における完全な相関関数の集合は何か？
• RQ5 偶数格子 VOA の genus g 分配関数は何か？ そしてシーゲル・シータ級数とどのように関係するか？

主な発見

• genus g 朱再帰式が、普遍係数 Ψ_N(x,y) と Θ_a(x,ℓ) を持つ形で確立され、Ψ_N(x,y) は x=y における単純極を持つ GEM 形式であり、x において N-微分形式、y において (1−N)-準微分形式としての変換性を持つ。
• ヘイゼンベルク VOA に対して、すべての n 点関数は古典的双微分形式（第二種）によって完全に決定され、以前の genus 2 の結果を一般化する。
• バーチャル・スティーブンスの 1 点関数は、正則 2-微分形式から得られる係数を持つ微分作用素が分配関数に作用することによって与えられ、モジュライ空間上での conformal Ward 恒等式を導く。
• ヘイゼンベルク VOA の genus g 分配関数は、周期行列、正則 1-形式、および射影接続を含む線形偏微分方程式を満たし、周期行列の場合はラウッハの恒等式が再表現される。
• 偶数格子 VOA V_L の genus g 分配関数は、Z_{V_L}^{(g)} = Θ_L(Ω) (Z_M^{(g)})^d と与えられ、Θ_L(Ω) はシーゲル格子シータ関数、Z_M^{(g)} はランク 1 ヘイゼンベルク分配関数である。
• この結果は [T2] における組み合わせ的導出を確認し、格子 VOA 分配関数に対してモジュラー表現を与えるが、最近の [Co] における自己双対格子に関する主張とは矛盾するように思われる。