[論文レビュー] General GLSM Invariants and Their Cohomological Field Theories

David Favero, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所ホッジ複体のコhomologyにおける仮想基本類を導入することで、一般の安定性条件のもとでの狭い領域および広い領域の両方においてGLSM不変量を構成する。マトリックス因子化のトム＝サルリバンおよびゴドメント分解、およびアティヤ類からの局所化されたチャーン指標を用いて、著者らはこれらの不変量がコhomological field theoryを形成することを証明し、先行する枚証幾何学およびランダウ＝ジンブルグ模型における研究を拡張する。

ABSTRACT

We construct GLSM invariants for a general choice of stability in both the narrow and broad sector cases and prove they form a Cohomological Field Theory. This is obtained by forming the analogue of a virtual fundamental class which lives in the local cohomology of the twisted Hodge complex. This general construction comes from the use of two new ingredients. First, the use of the Thom-Sullivan and Godement resolutions applied to matrix factorizations are introduced to handle poorly behaved (non-separated) moduli spaces. Second, a localized Chern character map built from the Atiyah class of a matrix factorization is utilized to forgo the use of Hochschild homology.

研究の動機と目的

• 一般の安定性条件のもとで、狭い領域および広い領域の両方におけるGLSM不変量の構成を拡張すること。
• 分離されていないモジュライ空間に依存しない、歪んだホッジ複体の局所コhomologyにおける仮想基本類の定義。
• これらの不変量がコhomological field theoryの公理を満たすことを確立すること。
• マトリックス因子化、分解理論、局所化されたチャーン指標の手法を統合した一貫した枠組みの構築。

提案手法

• GLSMで生じる非分離モジュライ空間を扱うために、トム＝サルリバンおよびゴドメント分解を用いる。
• cdga分解を用いて仮想因子化を構成し、非分離スタック上の因子化のホモトピー類を定義する。
• マトリックス因子化のアティヤ類から導かれる局所化されたチャーン指標写像を導入し、ホッジ・ホモロジーへの依存を回避する。
• アティヤ類を用いて$C^{ty}$設定におけるトレース写像を定義し、臨界集合上の積分を可能にする。
• サポート条件を備えた歪んだホッジ複体を用いて、局所コhomologyにおける仮想クラスを定義する。
• 接合および無視写像の操作を用いて、評価写像および安定性パラメータの選択に対する不変量の独立性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の安定性条件のもとで、狭い領域および広い領域の両方におけるGLSM不変量を構成できるか？
• RQ2 分離されていないモジュライ空間が存在しない状況で、仮想基本類をどのように定義できるか？
• RQ3 GLSM不変量の構成においてホッジ・ホモロジーを回避できるか？
• RQ4 マトリックス因子化のアティヤ類は、局所化されたチャーン指標を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 得られる不変量は、コhomological field theoryの完全な公理的構造を満たすか？

主な発見

• 仮定が弱い条件下で、GLSM不変量$\Omega_{g,r,d}$は単位をもつコhomological field theoryを形成する。
• 仮想基本類$[\mathfrak{U}]_{W}^{\mathrm{vir}}$は、歪んだホッジ複体の局所コhomologyに構成される。
• アティヤ類からの局所化されたチャーン指標写像が、ホッジ・ホモロジーの代わりに構成に用いられる。
• 接合および無視操作を用いて、評価写像および安定性パラメータの選択に対する不変量の独立性が証明された。
• 本手法は、凸ハイブリッドモデルおよび広い領域不変量の両方に対して有効であり、先行研究を一般化する。
• トム＝サルリバンおよびマトリックス因子化のゴドメント分解を用いることで、非分離モジュライスタックに対しても適用可能である。