[論文レビュー] Generalised Clifford groups and simulation of associated quantum circuits

Sean Clark, Richard Jozsa+1 more|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パウリ群を任意の有限部分群 $ G \subset U(d) $ に置き換えることで、Gottesman-Knill定理を一般化し、$ G \otimes G $ の射影正規部分群がエンタングルゲートを生成する条件を同定する。キュービット（$ d=2 $）の場合、このような群を体系的に分類し、エンタングル正規部分群を有するものは、$ X $ と $ Z $ の $ n $ 乗根によって生成されるものに限られることを示し、標準的なクリフォード群を超える古典的シミュレーション可能な量子回路の範囲を拡張する。

ABSTRACT

Quantum computations that involve only Clifford operations are classically simulable despite the fact that they generate highly entangled states; this is the content of the Gottesman-Knill theorem. Here we isolate the ingredients of the theorem and provide generalisations of some of them with the aim of identifying new classes of simulable quantum computations. In the usual construction, Clifford operations arise as projective normalisers of the first and second tensor powers of the Pauli group. We consider replacing the Pauli group by an arbitrary finite subgroup G of U(d). In particular we seek G such that G tensor G has an entangling normaliser. Via a generalisation of the Gottesman-Knill theorem the resulting normalisers lead to classes of quantum circuits that can be classically efficiently simulated. For the qubit case d=2 we exhaustively treat all finite subgroups of U(2) and find that the only ones (up to unitary equivalence and trivial phase extensions) with entangling normalisers are the groups G_n generated by X and the n^th root of Z.

研究の動機と目的

• パウリ群を任意の有限部分群 $ G \subset U(d) $ に置き換えることで、Gottesman-Knill定理を一般化し、古典的に効率的にシミュレート可能な新しいクラスの量子回路を同定すること。
• 射影正規部分群 $ \mathrm{PNormalizer}(G \otimes G) $ がエンタングルする条件を調査すること。これは、一般化されたGottesman-Knillフレームワークを介して、シミュレータブルな量子回路を導く。
• キュービットの場合に限って、ユニタリ同値および位相拡張に関して、$ G \otimes G $ のエンタングル正規部分群を生成するすべての有限部分群 $ G \subset U(2) $ を体系的に分類すること。
• 高次元群（$ d \geq 3 $）または可約表現が、キュービットの場合に見られるものとは異なる新たなエンタングル正規部分群を生成するかを検討すること。
• 非自明な射影正規部分群の存在を保証する群 $ G $ の数学的特徴を同定すること。特に、回路合成とシミュレーションとの関連において。

提案手法

• 有限部分群 $ G \subset U(d) $ に対して、$ G \otimes G $ の射影正規部分群として一般化クリフォード群を定義し、エンタングル性の性質を調査する。
• 群論的手法を用いて、$ U(2^2) $ 内の $ G \otimes G $ の正規部分群を分析し、特に射影正規部分群の構造とエンタングルメント生成との関係を検討する。
• 計算代数的手順を用いて、ユニタリ同値および位相拡張に関して、$ U(2) $ のすべての有限部分群を分類し、エンタングル正規部分群を有する群を同定する。
• $ G_m = \langle X, Z^{1/m} \rangle $ の正規部分群構造を特徴づけ、$ CZ $ と $ \mathrm{SWAP} $ が $ G_m \otimes G_m $ の完全な正規部分群を生成することを示し、すべての $ m \in \mathbb{N} $ に対して $ CZ $ がエンタングルゲートとして機能することを確認する。
• 有限群の表現理論、特に二面体群 $ Q_{4n} $ を用いて、$ m \in \mathbb{N} $ の場合に $ G_m $ に同型でない新たな射影正規部分群構造は生じないことを証明する。
• $ n \geq 3 $ の場合の $ G^{\bigotimes n} $ の正規部分群の構造的性質を調査し、$ n=1 $ および $ n=2 $ の成分から構成されるものとは異なる新たな正規部分群が存在するかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限部分群 $ G \subset U(2) $ に対して、$ G \otimes G $ の射影正規部分群がエンタングルし、結果として古典的シミュレーション可能な量子回路を生成するか？
• RQ2 標準的なパウリ群やその拡張以外の有限部分群 $ G \subset U(2) $ で、一般化された正規部分群構造を通じて、新たな効率的シミュレーション可能な量子回路クラスを生成するものは存在するか？
• RQ3 $ n \geq 3 $ の場合の $ G^{\bigotimes n} $ の正規部分群に、$ n=1 $ および $ n=2 $ の正規部分群から生成されないゲートが含まれる可能性はあるか？ ただし、$ G \otimes G $ にそのようなエンタングル正規部分群が存在しない場合を想定する。
• RQ4 有限群 $ G \subset U(d) $ が、非自明な射影正規部分群（特にエンタングル操作を生成するもの）を有するための数学的性質は何か？
• RQ5 高次元群（$ d \geq 3 $）または $ G \subset U(d) $ の可約表現が、既約の場合に存在しない新たなエンタングル正規部分群を生成するか？

主な発見

• キュービット（$ d=2 $）の場合、ユニタリ同値および位相拡張に関して、$ G \otimes G $ のエンタングル正規部分群を有する有限部分群 $ G \subset U(2) $ は、すべて $ X $ と $ Z $ の $ n $ 乗根によって生成される群 $ G_m $（$ m \in \mathbb{N} $）に限られる。
• $ G_m \otimes G_m $ の射影正規部分群は、$ CZ $ ゲート、スワップゲート、および $ G_m \otimes G_m $ によって生成され、すべての $ m \in \mathbb{N} $ に対して $ CZ $ はエンタングルゲートとして機能する。
• 中心商が二面体群 $ D_{2n} $（$ n $ が偶数のとき）に同型である $ U(2) $ のすべての有限部分群は、中心拡張として $ G_m $ にユニタリ同値であり、二面体群 $ Q_{4n} $ の異なる既約表現に対しても、新たな正規部分群構造は生じない。
• $ G_m \otimes G_m $ の正規部分群構造は完全に特徴づけられ、標準的なクリフォード群構造と同型であり、パウリ群から既に知られているもの以外の新たなエンタングル正規部分群は存在しない。
• 高次元（$ d \geq 3 $）の場合、$ U(3) $ に対する計算探索では新たなエンタングルトランスポート群は得られなかったが、群のサイズのため、体系的分類は計算的に困難である。
• 本稿では、$ n \geq 3 $ の場合に $ G^{\bigotimes n} $ の正規部分群が、$ n=1 $ および $ n=2 $ の成分から構成されないものである可能性が未解決のまま残っている。