[論文レビュー] Generalizations of planar contact manifolds to higher dimensions

A. C.U. Bahar, John B. Etnyre+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平面接触多様体を高次元に一般化する2つの方法、すなわち反復平面および射影的接触多様体を導入する。任意の有限生成群が、3より大きな奇数次元における反復平面接触多様体の基本群として実現可能であることを示し、シンプレクティックコボルドゥイズムとリーマン・ファイブレーションを用いて、特定の射影的接触5次元多様体に対してシンプレクティックキャップの存在を証明する。

ABSTRACT

Iterated planar contact manifolds are a generalization of three dimensional planar contact manifolds to higher dimensions. We study some basic topological properties of iterated planar contact manifolds and discuss several examples and constructions showing that many contact manifolds are iterated planar. We also observe that for any odd integer m > 3, any finitely presented group can be realized as the fundamental group of some iterated planar contact manifold of dimension m. Moreover, we introduce another generalization of three dimensional planar contact manifolds that we call projective. Finally, building symplectic cobordisms via open books, we show that some projective contact manifolds admit explicit symplectic caps.

研究の動機と目的

• 3次元における平面接触多様体の理論を、反復平面および射影的オープン・ブックを用いて、奇数次元に高次元化すること。
• これらの一般化された接触多様体の位相的およびシンプレクティック的性質を調査すること。
• 反復平面接触多様体に基本群の制約が存在するかどうかを特定すること。
• シンプレクティックコボルドゥイズムとリーマン・ファイブレーションを用いて、特定の射影的接触5次元多様体に対して明示的なシンプレクティックキャップを構成すること。

提案手法

• 平面的な基本ファイバーを持つ反復平面リーマン・ファイブレーションを用いて、反復平面接触多様体を定義する。
• シンプレクティックなページを持つオープン・ブック分解を用いて接触構造を支持し、そのモノドロミーを分析する。
• シンプレクティックなフィルティングの境界に (X × D²) のハンドルを付加することでシンプレクティック・コボルドゥイズムを構成し、リウヴィルベクトル場を保存する。
• コーナーの丸みを加えることで、リウヴィル場がコボルドゥイズム構造と整合するように保証する。
• シンプレクティックなホモトピー結果（例えば、Li-Wu、Li-Li-Wu）を用いて、モノドロミー写像をラグランジュ球面上のデーン・ツイストの合成に結びつける。
• 指定されたモノドロミーを持つ D² 上のシンプレクティック・リーマン・ファイブレーションを構成し、既存のコボルドゥイズムに接続することでシンプレクティックキャップを形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成群 G が、3 より大きな次元 m における反復平面接触多様体の基本群として実現可能か？
• RQ2 反復平面接触多様体のシンプレクティック・フィルティングは常に境界が連結か？
• RQ3 どの射影的接触5次元多様体が明示的なシンプレクティックキャップを有するか？
• RQ4 ページが F = CP²#nCP²（n ≤ 4）であるシンプレクティック F-バンドルを S¹ 上に持ち、ホモロジー上で自明に作用するモノドロミーは、シンプレクティックなホモトピーによって恒等写像に同値か？
• RQ5 どのような条件下で、リーマン・ファイブレーションの付加によってシンプレクティック・コボルドゥイズムをシンプレクティックキャップに拡張できるか？

主な発見

• 任意の奇数次元 m > 3 および任意の有限生成群 G に対して、基本群が G である反復平面接触 (2n+1)-多様体が存在する。
• 反復平面接触多様体のシンプレクティック・フィルティングは、常に境界が連結でなければならない。これは3次元での結果を一般化する。
• 反復平面接触5次元多様体は射影的である。すなわち、そのウェイナー・ページは、ある k に対して CP²#kCP² に凸領域として埋め込まれる。
• ページが CP²#nCP² に埋め込まれる（n ≤ 4）場合、その接触5次元多様体は CP²#nCP² を含むシンプレクティックキャップを有する。
• ホモロジー上で自明に作用するシンプレクティック F-バンドル（F = CP²#nCP²、n ≤ 4）のモノドロミーは、シンプレクティックなホモトピーによって恒等写像に同値である。
• ラグランジュ球面上にシンプレクティック3ハンドルを付加し、リーマン・ファイブレーションを用いることで、シンプレクティック・コボルドゥイズムを接触多様体のシンプレクティックキャップに拡張できる。