[論文レビュー] Generalizations of the Ruzsa-Szemer\'edi and rainbow Tur\'an problems for cliques

W. T. Gowers, Barnabás Janzer|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Ruzsa–Szemerédi問題とルビーヌ・トゥーラン問題をクリークへ一般化し、任意の r < s に対して、各 K_r が高々1つの K_s にしか含まれない n 頂点のグラフにおいて、K_s のコピーが n^{r−o(1)} 個存在することを証明している。また、r ≥ 4 の場合に ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)} が成り立つことを確立し、クリークの一般化されたリーブル・トゥーラン数のオーダーの大きさに関する疑問を解決している。

ABSTRACT

Considering a natural generalization of the Ruzsa-Szemer\'edi problem, we prove that for any fixed positive integers $r,s$ with $r<s$, there are graphs on $n$ vertices containing $n^{r}e^{-O(\sqrt{\log{n}})}=n^{r-o(1)}$ copies of $K_s$ such that any $K_r$ is contained in at most one $K_s$. We also give bounds for the generalized rainbow Tur\'an problem $\operatorname{ex}(n, H,$rainbow-$F)$ when $F$ is complete. In particular, we answer a question of Gerbner, M\'esz\'aros, Methuku and Palmer, showing that there are properly edge-coloured graphs on $n$ vertices with $n^{r-1-o(1)}$ copies of $K_r$ such that no $K_r$ is rainbow.

研究の動機と目的

• Ruzsa–Szemerédi問題をより高いクリークへ一般化し、各 K_r が高々1つの K_s にしか含まれないグラフにおける K_s のコピーの最大数を同定すること。
• r ≥ 4 の場合に、一般化されたルビーヌ・トゥーラン数 ex(n, K_r, rainbow-K_r) のオーダーの大きさを解明すること。
• 一般化されたクリーク設定における近似的に最適な境界を達成する幾何学的および積構成法の開発。
• Gerbner, Mészáros, Methuku, および Palmer が提起した、ex(n, K_r, rainbow-K_r) の漸近的成長に関する疑問に答えること。

提案手法

• 特定のベクトル割り当てを用いて、クリークの包含を制御するための R^d 内の点を用いた幾何的グラフを構築する。
• 6部グラフ構成法を用い、頂点の置換とエッジ色の自己同型を活用して、ルビーヌ K_4 を含まない複数の K_6 のコピーを生成する。
• 基本グラフの複数のコピーにわたる積構成法を適用し、K_6 のコピー数を増幅させつつ、ルビーヌ自由性を維持する。
• K_6 に5色の色分けを施し、対称性（自己同型群による推移的作用）を保つことで、コピー間の構造的一致性を維持する。
• c-スパンニング集合と部分空間次元の概念を用いて、キンググラフ H_{k,l} における K_4 を含まない構成の数を上界付ける。
• 頂点のベクトル表現を用いてエッジ色分けをモデル化し、線形代数的条件を適用してルビーヌ K_4 が出現しないようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された r < s に対して、n 頂点のグラフにおいて各 K_r が高々1つの K_s にしか含まれないとき、K_s のコピーの最大数は何か？
• RQ2 Ruzsa–Szemerédi問題の下界構成は、r ≥ 3 のより高いクリークへ一般化可能か？
• RQ3 r ≥ 4 の場合に、ex(n, K_r, rainbow-K_r) のオーダーの大きさは何か？ また、O(n^{r−1}) である上界は鋭いか？
• RQ4 幾何的または積構成法のアプローチは、クリークの一般化されたトゥーラン問題において近似的に最適な指数を達成可能か？
• RQ5 キンググラフ H_{k,l} に対して、ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4) の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 任意の固定された r < s に対して、各 K_r が高々1つの K_s にしか含まれない n 頂点のグラフが存在し、K_s のコピー数が n^{r−o(1)} 個に達することを示し、ほぼ最適な下界を確立した。
• この構成により、K_s のコピー数が n^{r−o(1)} 個に達し、r=2, s=3 の Ruzsa–Szemerédi 場合の指数と一致するが、より高いクリークへ一般化された。
• r ≥ 4 のすべての r に対して、ex(n, K_r, rainbow-K_r) = n^{r−1−o(1)} が示され、この一般化されたルビーヌ・トゥーラン数のオーダーの大きさに関する未解決の疑問が解決された。
• 6部グラフと色を保存する置換を用いた積構成法により、ルビーヌ K_4 を含まない K_6 のコピーが少なくとも n^{12−o(1)} 個に達し、基本構成を改善した。
• キンググラフ H_{k,l} に対して、ex(n, H_{k,l}, rainbow-K_4) = n^{k+l−1−o(1)} が確立され、指数が下位のベクトル空間の次元と一致することが示された。
• ex(n, K_r, rainbow-K_r) の上界 O(n^{r−1}) が鋭いことが確認された。下界が n^{r−1−o(1)} と一致するからである。