[論文レビュー] Generalized Burniat type surfaces and Bagnera-de Franchis varieties

Ingrid Bauer, Fabrizio Catanese+1 more|ERef Bayreuth (University of Bayreuth)|Sep 3, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般型の表面のギーゼッカー埋め込み空間における10個の新しい連結成分を構成するために、一般化されたバニャート型（GBT）表面およびバニャルト＝デ・フラニシス（BdF）多様体を導入する。$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$-作用による楕円曲線の積上の超曲面への自由作用を分類し、それらをBdF3次多様体と関連付けることで、$p_g = q = 0, K^2 = 6$ である3つの新規族と、$p_g = q = 1, K^2 = 6$ である7つの新規族を実現した。各族は異なる基本群を持つことから、それらのモジュライ成分が互いに同型でなく、絶対ガロア群に関して安定であることを証明した。

ABSTRACT

In this article we construct three new families of surfaces of general type with p_g = q = 0,K^2 = 6, and seven new families of surfaces of general type with p_g = q = 1, K^2 = 6, realizing 10 new fundamental groups. We also show that these families correspond to pairwise distinct irreducible connected components of the Gieseker moduli space of surfaces of general type. We achieve this using two different main ingredients. First we introduce a new class of surfaces, called generalized Burniat type surfaces, and we completely classify them (and the connected com- ponents of the moduli space containing them). Second, we introduce the notion of Bagnera-de Franchis varieties: these are the free quotients of an Abelian variety by a cyclic group (not consisting only of translations). For these we develop some basic results.

研究の動機と目的

• 群作用に基づく一般化された構成法を用いて、$p_g = q = 0$ および $p_g = q = 1$, $K^2 = 6$ である一般型表面の新規族を構成すること。
• 一般化されたバニャート型（GBT）表面の分類を行い、ギーゼッカー埋め込み空間におけるその連結成分を同定すること。
• アーベル多様体を非平行移動的巡回群によって自由に商取ることで得られるバニャルト＝デ・フラニシス（BdF）多様体の基礎的性質を導入し、発展させること。
• 特に基本群を含むトポロジー的および算術的不変量が、新規のモジュライ成分を区別することを確立すること。
• 新規族が互いに異なる、非可約的かつガロア群に関して不変なモジュライ空間の連結成分をなしていることを証明すること。

提案手法

• 著者らは、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^9$-作用に関して不変である、3つの楕円曲線の積上の超曲面 $\hat{X}_\lambda$ を、対角的2次曲面の完全交差として体系的に代数的に構成する。
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-同型な部分群 $H_1$ および $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$-同型な部分群 $H_0$ が、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の多重度 $(1,1,1)$ のデル・ペッツォ表面 $Y_\lambda$ に作用するのを分類する。
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$-同型な部分群 $G$ を、$H_1$ もしくは $H_0$ の逆像内から選び、$\hat{X}_\lambda$ 上で自由に作用させることで、一般型の極小表面が得られる。
• バニャルト＝デ・フラニシス3次多様体を、アーベル3次多様体 $A$ に非自明に作用する $G \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ による自由商 $X = A/G$ として定義し、その基本群およびコホモロジー的性質を研究する。
• 基本群 $\Gamma$ の分類空間 $X$ を用いて、写像 $f: S \to X$ が $f_*[S]^3 = 6$ を満たすことで、表面を特徴付ける。
• 群コホモロジーおよび $\Gamma$ のホモロジーを用いて、$S$ が $K(\Gamma,1)$-空間であることを示し、表面のトポロジー的分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたバニャート型の群作用を用いて、$p_g = q = 0$ および $p_g = q = 1$, $K^2 = 6$ である一般型表面の新規族を構成できるか？
• RQ2 これらの構成は、ギーゼッカー埋め込み空間において、互いに異なる非可約連結成分を生じるか？
• RQ3 これらの新規表面の基本群構造は何か？また、バニャルト＝デ・フラニシス多様体とどのように関係するか？
• RQ4 これらの表面のモジュライ成分が、絶対ガロア群 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}, \mathbb{Q})$ に関して不変であることを示せるか？
• RQ5 分類空間およびコホモロジー的不変量を用いたトポロジー的特徴付けは可能か？

主な発見

• 著者らは、$p_g = q = 0$, $K^2 = 6$ である3つの新規族と、$p_g = q = 1$, $K^2 = 6$ である7つの新規族を構成し、合計10個の新しい基本群を実現した。
• これらの族は、一般型表面のギーゼッカー埋め込み空間における10個の互いに異なる非可約連結成分に対応する。
• $p_g = q = 1$ の場合、基本群はランク6の準アーベル的で、$\mathbb{Z}^5$ と $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の非自明な半直積に同型であり、非自明な作用を持つ。
• 表面 $S$ が、$1 \to \Lambda \to \Gamma \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 1$ の完全列に適合し、写像 $f: S \to X$ が $f_*[S]^3 = 6$ を満たす場合、$p_g = q = 1$ の表面はトポロジカルに特徴付けられる。
• モジュライ成分は、定義されるトポロジー的およびコホモロジー的条件がガロア不変であるため、絶対ガロア群 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}, \mathbb{Q})$ の作用に関して安定である。
• 新規表面の基本群は、積商表面や混合準エタール表面のそれらとは同型ではなく、ホモロジーの違いにより $p_g = 0$ のクリコフ型表面とは異なる。