[論文レビュー] On n-ary Hom-Nambu and Hom-Maltsev algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 48被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、$n$-ary Hom-Maltsev代数を導入し、研究する。これは、Hom-Nambu-Lie代数を一般化したものであり、乗法的Hom-Jordan代数およびHom-代数が、$2^{k+1}+1$ 項のHom-Nambu代数を生じることを示している。また、三項Hom-Maltsev代数が、ねじれを用いた合成代数から生じることを確立し、非Lie型三項Hom-Maltsev代数の明示的構成を提供することで、高次元非結合的代数へのHom型枠組みを拡張している。

ABSTRACT

Hom-alternative and Hom-Jordan algebras are shown to give rise to Hom-Nambu algebras of arities 2^{k+1} + 1. The class of n-ary Hom-Maltsev algebras is studied. Multiplicative n-ary Hom-Nambu-Lie algebras are shown to be n-ary Hom-Maltsev algebras. Examples of ternary Hom-Maltsev algebras that are not ternary Hom-Nambu-Lie algebras are given. Ternary Hom-Maltsev algebras are shown to arise from composition algebras.

研究の動機と目的

• $n$-ary Hom-Maltsev代数を、$n$-ary Hom-Nambu-Lie代数の一般化として定義し、研究すること。
• 乗法的Hom-代数およびHom-Jordan代数が、$2^{k+1}+1$ 項のHom-Nambu代数を生じることを確立すること。
• 三項Hom-Maltsev代数で、三項Hom-Nambu-Lie代数でないものを明示的に構成すること。
• 三項Hom-Maltsev代数が、ねじれ写像を用いて合成代数から導出可能であることを示すこと。

提案手法

• $(n-1)$ 個のねじれ写像を用いた、$n$-項Nambu恒等式のねじれ一般化により、$n$-ary Hom-Maltsev代数を導入する。
• Meybergの構成を用いて、Hom-Jordan三重系からHom-Lie三重系を導出する。
• ねじれ写像の固定点を用いた還元プロセスにより、$n$-項Hom-Maltsev代数の項数を$n-k$-項代数に低減する。
• 合成代数から、単位元と対合と可換な代数準同型を含む新しい積を定義することで、三項Hom-Maltsev代数を構成する。
• 自己準同型によるねじれの下での閉包性を証明し、乗法的$n$-項Hom-Nambu代数が、高次元Hom-Nambu代数の系列を生じることを保証する。
• $eta_{n-1}$ による固定点 $a$ に対して $[a, y_{2,n-1}, a] = 0$ が成り立つことを利用して、$n$-項Hom-Maltsev代数の項数を低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$n$-ary Hom-Maltsev代数を体系的に定義し、特徴づけることができるか？
• RQ2 Hom-代数およびHom-Jordan代数と、高次元Hom-Nambu代数との関係は何か？
• RQ3 三項Hom-Maltsev代数は、合成代数から構成可能か？ もし可能であれば、その方法は何か？
• RQ4 三項Hom-Maltsev代数で、三項Hom-Nambu-Lie代数でない例は存在するか？
• RQ5 どのようにして、$n$-項Hom-Maltsev代数を低次元のHom-Maltsev代数に還元できるか？

主な発見

• 乗法的Hom-Jordan代数は、Hom-Jordan三重系を生じる。これは、古典的Jordan代数からJordan三重系への対応を一般化する。
• Hom-代数およびHom-Jordan代数は、$2^{k+1}+1$ 項のHom-Nambu代数を生成し、非Lie型Hom-Nambu代数の広いクラスを提供する。
• 三項Hom-Maltsev代数は、対合と可換な代数準同型を含む特定の積の公式を用いて、合成代数から構成可能である。
• 三項Hom-Nambu-Lie代数でない三項Hom-Maltsev代数の明示的例が構成され、Hom-Maltsev類がHom-Nambu-Lie類を真に包含することを示している。
• ねじれ写像の固定点を用いた還元プロセスにより、$n$-項Hom-Maltsev代数から$(n-k)$-項Hom-Maltsev代数を構成可能であり、$k$ 個の要素について $eta_{n-i}(a_i) = a_i$ が成り立つ条件を満たす。
• ねじれ写像 $eta_{n-i}$ が恒等写像である場合、任意の$k$ 個の要素に対して還元プロセスが普遍的に適用可能であり、項数を低減する体系的な手法が得られる。