[論文レビュー] Generalized fixed point algebras for coactions of locally compact quantum groups

Alcides Buss|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、KustermansとVaesの定義による局所コンパクトな量子群のコアクションに関して、Rieffelの一般化固定点代数理論を、ヒルベルトモジュール理論を用いて一般化し、連続的平方可積分性の非可換類似を導入することで、一般化固定点代数を局所コンパクトな量子群のコアクションへと拡張する。主な結果として、一般化固定点代数と、縮小クローズド積の理想との間のモラータ同値性が確立され、固定点代数がクローズド積上のヒルベルトモジュール上のコンパクト作用素代数として実現される。

ABSTRACT

We extend the construction of generalized fixed point algebras to the setting of locally compact quantum groups - in the sense of Kustermans and Vaes - following the treatment of Marc Rieffel, Ruy Exel and Ralf Meyer in the group case. We mainly follow Meyer's approach analyzing the constructions in the realm of equivariant Hilbert modules. We generalize the notion of continuous square-integrability, which is exactly what one needs in order to define generalized fixed point algebras. As in the group case, we prove that there is a correspondence between continuously square-integrable Hilbert modules over an equivariant C*-algebra B and Hilbert modules over the reduced crossed product of B by the underlying quantum group. The generalized fixed point algebra always appears as the algebra of compact operators of the associated Hilbert module over the reduced crossed product.

研究の動機と目的

• 群作用から局所コンパクトな量子群のコアクションへ、Rieffelの一般化固定点代数理論を拡張すること。
• 連続的平方可積分性の概念を量子群の文脈に一般化し、非可換力学における固定点代数の構成を可能にすること。
• 局所コンパクトな量子群のコアクションを伴うC*-代数上の連続的平方可積分なヒルベルトモジュールと、縮小クローズド積上のヒルベルトモジュールとの間の対応を確立すること。
• 一般化固定点代数が、縮小クローズド積上の関連するヒルベルトモジュール上のコンパクト作用素代数として自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 局所コンパクトな量子群のコアクションを解析するために、Meyerの等変ヒルベルトモジュールの枠組みを採用する。
• コアクションを伴うC*-代数上のヒルベルトモジュールに対して、連続的平方可積分性の非可換一般化を導入する。
• Rieffelの群の場合のアプローチを模倣し、コアクションに沿った平均化を用いた一般化固定点代数の構成を用いる。
• 実装的双加法モジュールの構成を用いて、固定点代数と縮小クローズド積 $A \rtimes_r \mathcal{G}$ の理想との関係を結ぶ。
• 量子群の標準的コリプレゼンテーション $W$ 及び関連する作用素を用いて、ヒルベルトモジュール構造を定義・解析する。
• Cohenの因子化定理および双対コアクションの性質を用いて、飽和的かつs-完備な部分空間が完全なモラータ同値性をもたらすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点代数の理論を群作用から局所コンパクトな量子群のコアクションへ拡張することは可能か？
• RQ2 量子群コアクションの文脈において、連続的平方可積分性の適切な非可換類似は何か？
• RQ3 一般化固定点代数は、量子群の文脈において、縮小クローズド積とどのように関係するか？
• RQ4 一般化固定点代数が、クローズド積上のヒルベルトモジュール上のコンパクト作用素代数として生じる条件は何か？
• RQ5 ヒルベルトモジュールおよびコアクションの構造に関して、自由性（飽和性）の特徴づけは可能か？

主な発見

• 局所コンパクトな量子群のコアクションを伴うC*-代数上の連続的平方可積分なヒルベルトモジュールに関連する一般化固定点代数は、縮小クローズド積上のヒルベルトモジュール上のコンパクト作用素代数と同型である。
• 一般化固定点代数と縮小クローズド積の理想との間にはモラータ同値性が存在し、これは平方可積分な要素の稠密部分空間の完備化によって誘導される。
• この構成は、Rieffelの元来の枠組みを群作用から量子群コアクションへ一般化し、固定点代数とクローズド積の間の核心的双対性を保つ。
• 飽和的かつs-完備で、相対的に連続なヒルベルトモジュールの部分空間は、非可換力学における自由性の概念を一般化した、まさに自由コアクションに対応する。
• 量子群自身のその余乗法を用いたコアクションは、正則性を満たす場合かつその場合に限り、適切で自由である。非正則な例は、非適切なコアクションとして特徴づけられる。
• 稠密でs-完備かつ相対的に連続な部分空間 $\mathcal{R}_0 \subseteq \mathcal{G}_{\mathrm{si}}$ に関連するヒルベルトモジュール $\mathcal{F}(\mathcal{G}, \mathcal{R})$ は、$\mathcal{K}(L^2(\mathcal{G}))$ 上のヒルベルトモジュールとして $L^2(\mathcal{G})^*$ と同型であり、標準的な双対性を確立する。