[論文レビュー] Stratifications and foliations for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$p > 2$ におけるHodge型 Shimura 変数の良い還元について、foliation およびレベル $m$-stratification の理論を拡張し、torsor を構成し、それらを截断表示と関連付ける。ニュートン stratum の次元公式を確立する：$\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$。これは PEL および Siegel 場合の結果を一般化する。

ABSTRACT

Level $m$-stratifications on PEL Shimura varieties are defined and studied by Wedhorn using BT-$m$s with PEL structure, and then by Vasiu for general Hodge type Shimura varieties using Shimura $F$-crystals. The theory of foliations is established by Oort for Siegel modular varieties, and by Mantovan for PEL Shimura varieties. It plays an important role in Hamacher's work to compute the dimension of Newton strata of PEL Shimura varieties. We study level $m$ stratifications on good reductions at $p>2$ of Shimura varieties of Hodge type by constructing certain torsors together with equivariant morphisms, and relating them to truncated displays. We then use the results obtained to extend the theory of foliations to these reductions. As a consequence, combined with results of Nie and Zhu, we get a dimension formula for Newton strata.

研究の動機と目的

• PEL および Siegel 型 Shimura 変数において既に知られていた foliation 理論を、$p > 2$ における Hodge 型 Shimura 変数の良い還元へと拡張すること。
• torsor および截断表示を用いて、これらの還元におけるレベル $m$-stratification を研究し、新たな幾何学的および群論的枠組みを提供すること。
• Hodge 型 Shimura 変数におけるニュートン stratum の次元公式を確立すること。これは Nie, Zhu および他の研究者の結果に基づく。
• 中心葉が各ニュートン stratum 内で滑らかで、局所的閉であり、次元が一様であることを示し、かつそれらが古典的対応物において開かつ閉であることを証明すること。

提案手法

• Vasiu の研究から得られる群スキームを用いて、良い還元 $\mathscr{S}_0$ 及びその特別ファイバー $\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ 上に torsor を構成する。
• レベル $m$-stratum と追加構造をもつ截断表示を関連付ける写像 $\zeta_m$ を定義し、それらを Dieudonné 稲妻および $F$-稲妻と結びつける。
• 文献 [19] の截断表示の理論を用いて、追加構造をもつ $p$-可除群をパラメトライズし、BT-$m$ 型に対する明示的制御を可能にする。
• 拡張および群論的設定に関する結果を応用し、シンプレクティック埋め込みの独立性および同種型との整合性を示す。
• Igusa テーバーを構成し、有限な準同型を用いて $J_{b,m} \times \overline{\mathbb{M}}^{n,d}$ をニュートン stratum と関連づけ、ほぼ積構造を確立する。
• 準同型の有限性および準有限性を活用し、[48] および [21] の次元公式を用いて次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、PEL から一般の Hodge 型 Shimura 変数へと foliation 理論を $p > 2$ で拡張できるか？
• RQ2 Hodge 型 Shimura 変数の良い還元におけるレベル $m$-stratum の幾何学的構造は何か？
• RQ3 中心葉とニュートン stratum は、次元および閉包性の観点からどのように関係しているか？
• RQ4 torsor および截断表示を用いて、Hodge 型の場合にニュートン stratum の一様な次元公式を導出できるか？
• RQ5 Igusa テーバーおよび $J_{b,m}$-作用は、ニュートン stratum のほぼ積構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 各レベル $m$-stratum $\mathscr{S}_0^s$ は、$\mathscr{S}_{0,\overline{\kappa}}$ の滑らかで局所的閉な部分スキームであり、その閉包はレベル $m$-stratum の和集合である。
• BT-$m$ に追加構造をもつものがある quasi-fppf な被覆 $T \to \mathscr{S}_0^s$ が存在し、$T$ 上で定数となる。
• 各レベル $m$-stratum はその古典的レベル $m$-stratum において開かつ閉であり、$m$ が十分に大きい場合にはすべてのレベル $m$-stratum が中心葉に一致する。
• 各中心葉 $\mathscr{S}_0^c$ は滑らかで局所的閉であり、その閉包は中心葉の和集合である。包含写像 $\mathscr{S}_0^c \hookrightarrow \overline{\mathscr{S}_0^c}$ はアフィン埋め込みである。
• あるニュートン stratum $\mathscr{S}_0^b$ 内のすべての中心葉は、同じ次元 $\langle 2\rho, \nu_G(b) \rangle$ をもつ。
• ニュートン stratum $\mathscr{S}_0^b$ の次元は、公式 $\dim \mathscr{S}_0^b = \langle \rho, \mu + \nu(b) \rangle - \frac{1}{2}\mathrm{def}(b)$ で与えられ、ほぼ積構造および次元加法性から導出される。