[論文レビュー] Generalized $U(1)$ Gauge Field Theories and Fractal Dynamics

Daniel Bulmash, Maissam Barkeshli|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Theoretical and Computational Physics参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、局所的演算子によって生成される電荷配置の幾何的パターンに基づいて、一般化された$U(1)$ゲージ場理論におけるガウス則制約を定義することにより、次元より低い動的な持つ$U(1)$ゲージ場理論の一般化された枠組みを導入する。ハウのコードやヨシダのシエルピンスキー角柱模型のようなフラクタルモデルの連続的有効場理論を確立し、非自明なフラクタル相が$π$-フラックスや$π$-フラックスの対応物が存在しない状況でも存在可能であることを示し、非退化した磁場が一貫して定義可能な条件を証明する。

ABSTRACT

We present a theoretical framework for a class of generalized $U(1)$ gauge effective field theories. These theories are defined by specifying geometric patterns of charge configurations that can be created by local operators, which then lead to a class of generalized Gauss law constraints. The charge and magnetic excitations in these theories have restricted, subdimensional dynamics, providing a generalization of recently studied higher-rank symmetric $U(1)$ gauge theories to the case where arbitrary spatial rotational symmetries are broken. These theories can describe situations where charges exist at the corners of fractal operators, thus providing a continuum effective field theoretic description of Haah's code and Yoshida's Sierpinski prism model. We also present a $3+1$-dimensional $U(1)$ theory that does not have a non-trivial discrete $\mathbb{Z}_p$ counterpart.

研究の動機と目的

• 次元より低い電荷および磁気励起の動的制限を持つ一般化された$U(1)$ゲージ理論の連続的有効場理論を構築すること。
• ハウのコードやヨシダのシエルピンスキー角柱模型のようなフラクタルモデルの場理論的記述を提供すること。これらは、これまでこのような記述が存在しなかった。
• カットオフスケールにおける許容される電荷配置の集合から、非退化したマクスウェル型ゲージ理論を構築できる条件を同定すること。
• 非自明な$π$-フラックスや$π$-フラックスの対応物が存在しない$U(1)$理論が存在可能であることを示し、従来の任意ons統計では捉えきれない新しいトポロジカル相の存在を示すこと。
• 局所的演算子が電荷の可動性およびゲージ不変な観測量の構造をどのように決定するかを明確にすること。

提案手法

• カットオフスケールにおける局所的演算子が生成する電荷配置の幾何的パターンに基づき、電場$E_i$を電荷密度$\rho$へ写像する微分作用素$D_i$を用いて、一般化されたガウス則を定義する。
• 電荷が特定の方向に可動可能であるのは、その方向に沿った電気双極子が局所的演算子によって生成可能な場合に限ることを条件とし、可動性と演算子代数を結びつける。
• 磁場を$\tilde{G}_i A_j - \tilde{G}_j A_i$（$i \neq j$）の形でゲージ不変な形で定義する。ここで$\tilde{G}_i$は$D_i$から導かれる微分作用素である。
• 非退化した磁場が存在するための必要十分条件は、作用素$\tilde{D}_i^\lambda$が共通因子$\tilde{G}_i$を有することであることを証明し、一貫性と非退化性を保証する。
• 立方格子および斜方格子座標における格子正則化を用い、連続的理論と離散的モデルとの接続を確立し、適切な座標変換のもとで理論が標準的な$U(1)$ゲージ理論に還元されることを示す。
• 一般化されたガウス則およびゲージ変換則から有効ハミルトニアンおよび保存量を導出し、量子制約と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定されたカットオフスケールでの電荷配置の集合から、どのような条件下で連続的有効場理論を構築できるか。
• RQ2 次元より低いダイナミクスを有する一般化された$U(1)$ゲージ理論において、非退化した磁場を一貫して定義する方法は何か。
• RQ3 $\mathbb{Z}_p$版が完全に可動な任意onsを有する場合でも、非自明な$\mathbb{Z}_p$対応物を持たない$U(1)$ゲージ理論が存在可能か。
• RQ4 このような一般化されたゲージ理論において、電荷の可動性はどのように決定されるか。特に、ある方向に自由に移動可能な電荷は、どのような条件下で存在するか。
• RQ5 微分作用素$D_i$の代数的性質は、ゲージ不変な観測量の存在およびゲージ群の構造とどのように関係するか。

主な発見

• 局所的演算子がカットオフスケールで生成する許容される電荷配置の任意の集合から、一般化された$U(1)$ゲージ理論を構築可能であり、電荷のダイナミクスはすべてこれらの配置によって完全に決定される。
• 本理論は、ハウのコードおよびヨシダのシエルピンスキー角柱模型の、初めての連続的有効場理論的記述を提供する。ここでは、フラクタルな演算子構造のため、孤立した電荷を生成するには指数関数的に大きなエネルギーが必要となる。
• $M=2$フレーバーの$U(1)$ゲージ場に対して、非退化した磁場が存在するのは、微分作用素$\tilde{D}_i^\lambda$が共通因子$\tilde{G}_i$を有する場合に限る。これにより非退化性およびゲージ不変性が保証される。
• 本稿では、$M=1$および$M=2$の場合に、$N > M$が非自明な磁場の存在に十分であることを証明し、$M=2$、$N=3$の明示的構成も提示する。
• 非自明な$\mathbb{Z}_p$対応物を持たない$U(1)$理論が存在することを示し、従来の任意ons統計では捉えきれない新しいトポロジカル相の存在を示唆する。
• 斜方格子座標における格子正則化により、標準的な$U(1)$一形式ゲージ理論が得られ、適切な座標変換のもとで既知の離散的モデルと整合することが確認される。