[論文レビュー] Generalizing the Kodama State I: Construction

Andrew Randono|ArXiv.org|Nov 14, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、正則量子重力におけるKodama状態を実数のImmirziパラメータへ一般化し、Levi-Civita曲率演算子の固有状態であり、デルタ関数ノルムで規格化可能な物理状態の新しいクラスを構成する。これらの状態は、量子力学における運動量固有状態に類似しており、曲率が運動量の役割を果たし、標準的な演算子順序付けのもとでハミルトニアン制約を満たすことが示された。

ABSTRACT

The Kodama State is unique in being an exact solution to all the ordinary constraints of canonical quantum gravity that also has a well defined semi-classical interpretation as a quantum version of a classical spacetime, namely (anti)de Sitter space. However, the state is riddled with difficulties which can be tracked down to the complexification of the phase space necessary in its construction. This suggests a generalization of the state to real values of the Immirzi parameter. In this first part of a two paper series we show that one can generalize the state to real variables and the result is surprising in that it appears to open up an infinite class of physical states. We show that these states closely parallel the ordinary momentum eigenstates of non-relativistic quantum mechanics with the Levi-Civita curvature playing the role of the momentum. With this identification, the states inherit many of the familiar properties of the momentum eigenstates including delta-function normalizability. In the companion paper we will discuss the physical interpretation, CPT properties, and an interesting connection between the inner product and the Macdowell-Mansouri formulation of general relativity.

研究の動機と目的

• 元のKodama状態におけるノルム非可縮性とCPT破れの問題を、Immirziパラメータβを実数に一般化することで解決すること。
• すべての制約を厳密に満たし、適切な半古典的解釈を持つ物理状態の新しいクラスを、正則量子重力において構成すること。
• 一般化された状態と量子力学における運動量固有状態との間の対応関係を確立し、Levi-Civita曲率が運動量パラメータとして機能することを示すこと。
• 一般化された状態が自然な内積のもとでノルムで規格化可能であることを示すこと。

提案手法

• Immirziパラメータβを実数に一般化し、複素化された位相空間変数を実数に置き換えること。
• 標準的なKodamaの演算子順序付けを用いて、接続表現におけるLevi-Civita曲率の量子演算子を定義すること。
• 運動量固有状態に類似した形で、Chern-Simons作用の指数関数に加えて別の項を含む状態Ψ_R[A]を構成すること。
• これらの状態が、曲率配置Rに対応する固有値を持つLevi-Civita曲率演算子の固有状態であることを示すこと。
• 外的曲率をLevi-Civita曲率に置き換えることで、ハミルトニアン制約を代入し、曲率項が相殺されることで制約が恒等的に消える形にすること。
• Σ演算子が関数的微分作用素として作用すること、およびFが乗法的につくことを利用して、ハミルトニアン制約が恒等的に消えることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム非可縮性とCPT破れの問題を解消するために、Kodama状態を実数のImmirziパラメータに一般化できるか？
• RQ2 βが実数である場合、一般化された状態がハミルトニアン制約の厳密解のままであるか？
• RQ3 一般化されたKodama状態が、自然な演算子の固有状態をなすか？その物理的解釈は何か？
• RQ4 一般化された状態が物理的に妥当な内積のもとでノルムで規格化可能であることを示せるか？
• RQ5 一般化されたKodama状態と非相対論的量子力学における運動量固有状態との間の構造的類似性は何か？

主な発見

• 一般化されたKodama状態は、自然に定義されたLevi-Civita曲率演算子の固有状態であり、固有値は曲率配置Rで与えられる。
• 自然な内積のもとで、これらの状態はデルタ関数ノルムで規格化可能であり、元のKodama状態におけるノルム非可縮性の問題が解決される。
• 標準的な演算子順序付けのもとで、すべての曲率配置Rに対してハミルトニアン制約が満たされる。これは、量子作用における曲率項が恒等的に相殺されるためである。
• これらの状態は運動量固有状態から引き継いだ性質を持ち、Levi-Civita曲率が運動量の役割を果たすため、深い構造的類似性が示唆される。
• 一般化により、複素化された位相空間の必要がなくなり、元の構成に内在する実在性条件の問題が解消される。
• 一般化された状態は、異なる曲率配置Rによってラベル付けられる無限個の物理状態のクラスを形成する。